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基本 例題19
不幸式の証明 ・微分利用(基本)
x>0のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
2
(1)log(1+x)<1+x
不等式f(x)>g(x)の証明は
0000
(2)類愛知教育大]
327
(2)x2+2e-2x+1
p.326 基本事項
重要 195, 197, 演習 202
大小比較は差を作るに従い,F(x)=f(x)-g(x)
答
として(.........), F(x)の増減を調べ、次の①,②どちらかの方法で F(x)>0を示す。
① F(x)の最小値を求め, 最小値>0 となることを示す。
これが基本。
② F(x)が単調増加 [F'(x)>0]でF(a)≧0xαのとき F(x)>0 とする。
(1) では ①, (2) では②の方法による。 なお, F'(x)の符号がわかりにくいときは,更に
F" (x) を利用する。
1(1) F(x)=-
1+x
2
1
-log (1+x) とすると
x-1
F(x)= | | -1 + x = 2(1+x)
1+x
x0におけるF(x)の増減
表は右のようになる。
e> 2 であるから
x
F'(x) =0 とするとx=1
F'(x)
F(x)
logelog20 すなわち
1-log2>0
|1|2
F(x)≧F(1)>0
ゆえに,x>0のとき
よって,x>0のとき
log(1+x) <
1+x
2
大小比較はAHO
差を作る
ー
(1)
1+x
y= log(1+x) とy=-2
1
+
極小
のグラフの位置関係は、下の
図のようになっている
1-log2
YA
1+x
y=
2
は
12
10
1
y=log(1+x) (
6章
27
方程式・不等式への応用
|_ (2) F(x)=x2+2e-e-2x+1) とすると
F'(x)=2x-2e-x+2e-2x
F"(x)=2+2ex-4e-2x=2(1-e-x)(1+2e-x)
このままでは,F'(x)>0
が示しにくい。 よって,
F" (x) を利用する。
別解(2)
JJF(x)=x²-(1-e¯x)²
=(x+1-e-x)(x-1+e_x)
x>0のとき,x+(1-e-x)>0
であるから, x>0で
F" (x)>0
F'(x)>0
x>0のとき,0<e-x <1であるから
ゆえに,F(x)はx=0で単調に増加する。
このことと,F'(0)=0から,x>0 のとき
よって, F(x) は x≧0 で単調に増加する。
このことと,F(0)=0 から, x>0のとき
x2+2exex+1
したがって,x>0のとき
F(x)>0
x1+ex>0を示す。
[方法は (1) の解答と同様。]
200
色)の利用 [6]
