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題
1
次の文章を読み
に適する数式を入れ,
[
に適する語句または文章を入れよ。
ほぼ50年前に, 人工衛星の打ち上げに初めて成
功して以来, 人類は月面着陸さらに火星探査に成
功するまでに至ったが, 300年も前にニュートンは
すでに人工衛星の可能性を予言していた。 ニュートンが予言したような地球のまわりを
まわる人工衛星について考えてみよう。 ただし、地球を半径R,質量Mの一様な球と
みなし, 地球と人工衛星以外の天体の影響, 地球の自転と公転および大気の影響は無視
する｡
地表での重力加速度の大きさg は, M, R と万有引力定数Gを用いて,g=ア
と表される。
いま, 地表から打ち上げられた質量 mo の物体が, 半径 α, 速さの円運動をする
人工衛星になった。 この衛星にはたらく円運動の加速度は万有引力によって生じるの
で,その関係式はイと表される。 これより速さはv=ウ となり,この円運動
の周期T は, G, M, a によって,T=エと表される。円軌道を描く人工衛星のカ
学的エネルギーは、(イ) を用いて G, M, mo, a によって,オと表される。 ただ
し,万有引力が0になる無限遠点を位置エネルギーの基準点にとる。
円軌道上の点Aで,衛星中の質量m' の部分が,衛星の進む方向と逆向きに相対速
度V(Vは正) で衛星から瞬間的に分離された。 分離直後, 衛星の残りの部分は質量が
m=mom'となり, 速さがv からに増加し, 図のように地球の中心を焦点とす
るだ円軌道を描くようになった。 質量m'の部分の速さはva-Vとなる。 ただし,分
離直前の衛星の速度の向きを正とする。分離前後で運動量が保存されるとして, その保
存則は,mo, m', m, Vo, va, V を用いてカで表される｡
B
UB
VA
-b
A
地球の中心よりだ円軌道の近地点Aまでの距離はαである。 遠地点Bまでの距離を
b とする。惑星の運動に関するキ]の第2法則を人工衛星に適用すると, 地球の中
心と衛星とを結ぶ線分(動径) が,単位時間当たりに描く面積は一定である。 近地点Aで
の面積速度は 12/24v』であるから,遠地点 B での速度vgは,a,b, vaを用いて,
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UB=ク と表される。 だ円軌道上では、力学的エネルギーは運動エネルギーと万有
引力による位置エネルギーの和であり保存されるから, 点A と点 B での力学的エネル
ギーが等しいことは, G, M, m, va, UB, a, b を用いて,ケで表される。 (ウ),
(ク),(ケ)より, a, b を用いて, "=| | XVO, UB=サ となる。
人工衛星が図のようなだ円軌道を描くためには,点Aでの力学的エネルギーが負で
あればよいので, v = (ウ) を考慮すれば, "A<シ xv となる。これと (カ) より,
Vの上限は, mo, m' を用いて, ス
となる。
(コ)×vo の式を変形して, 6 (人工衛星の到達距離) を vo, va, a を用いて表す。
この式を用いて,vAが(シ)×vに限りなく近づくと,人工衛星の最大到達距離はどう
なるかを述べよ。〔セ]
