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数学 高校生

なぜ自然数じゃないといけないですか? 分数型の累乗も存在しますよね?教えてください

ba, as b の公 0 90 等比数列と対数 重要 例題 0000 数列{an} は初項1,公比5の等比数列である。 a1+a2+...... +an ≧ 102 を 満たす最小の n を求めよ。 ただし, 10g102= 0.3010 とする。 [ 学習院大 ] p.467 基本事項 3, 基本 86 CHARTO OLUTION 等比数列の和 対数の利用・・・・・! 不等式の左辺を計算して整理すると5"410100+1 このままでは,nの値を求めるのは難しい。 そこで, 対数 (数学ⅡI の内容) を利用 するとよい。 なお,5≧4・10100 +1 のままでは,両辺の常用対数をとっても右辺の計算がうま くできない。 そこで, nが自然数のとき 5"≧4・10100 +1 と 5>4・1010 は同値で あるから, 5">4・101 の両辺の常用対数をとって計算するとよい。 解答 a+a+......+an= 1-(5"-1)=(5-1) よって与えられた不等式から 整理して 5"≧4・10100 +1 ゆえに, 5">4・10100 を満たす最小の自然数nを求めればよい。 両辺の常用対数をとると nlog10510g104 +100 n (1-10g102) >210g10 2+100 10g10 2=0.3010 であるから Pea 0.6990n>100.6020 (5-1) ²10¹00 よって 100.6020 n> -=143.9...... 0.6990 ゆえに, n ≧144 のとき 5">4・10100 が成り立つ。 したがって、求める最小のnの値は n=144 009 ← Sn= a(r"-1) r-1 ◆右辺を1少なくしても, 式の形からnに影響を 08 及ぼさない。 10g105"=n10g105, log104.10100 log104+log10 10100 = 210g 10 2+100 10g105=10g10- 475 10 2 =10g1010-10g102 =1-log102 ■ 5” は単調に増加する。 METOA *88 ARE (14) 3章 11 等比数列

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数学 高校生

最後の問題のPを16進数で表した時の整数部分が何桁か分かりません。 答え2枚目です

3. 数列{an}の初項から第n項までの和をS” とする。この数列が az=1. α=30. S=(n-1)(n-3)an+1 (n=1,2,3,...) ...① によって定まるとき. (I) anとSをnを用いて表した式 (II) P=StxSs×StX… XS102 の値の整数部分の桁数、 を求めたい。 下記の[ の中に適する式または値を入れよ。 なお, log 10 2=0.3010. log10 3=0.4771 とする。 「(1) まず, a1, as および Si, Sz. S, の値を Sn=ax+az+..+αと①を用いて求めると. $,== (1) Sz= (2) S3 (3) 03= (4) となる。 次に,n≧4のときを考える。 Sヵ-S-1=α の式に①を代入し、n-3≠0 であるから、 との間の関係式 (5) ]) an+1=( (6) Da an を得る。 ここで②の両辺に( (7) を掛けると ( (5) と同じ) ( (7) と同じ 4x+1=((7)と同じ)((6)と同じ) となる。③より数列{(7) と同じ)((6)と同じ) am)は、そのすべての項が同じ値であ る定数列であることがわかり、その定数の値はαの値を用いると. (8) よって、n≧4のときの と S は、 である。 (9) (10) *** SR= と表される。 (II) ⑨を用いて、 P の値はP= -X| 100 数部分は (12) 桁である。 一方, Pを16進法で表したとき、その整数部分は 桁となる。」 となる。 Pの常用対数の値から、Pの値の整 (13)

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