この置換積分の途中式が全く理解できないので教えてください😭

Step 1: f(x)f'(x) の積分 与えられた式 f(x)f'(x)=e2x-e-2x の両辺を 積分します。 [ f(x)f'(x)dx = [ (e²x = / (e²x - e²²r)dx -e-2x)dx 左辺は置換積分を用い て、 「f(x)f'(x)dx = |f(x) f'(x)dx = [ udu u² + C' (ZZ 2+に で u = f(x) としています)。 したがっ .2x て、 | げ(12 {(S(x))² = ½± e²x + ½±² e²²x + -2x +C 2

数３微分 マーカー引いたところがわかりません。logなのに引き算をしているところや、符号が一致するというところを教えてください

せる x+y=1,x>0,y>0のとき、zy"の最小値を求めよ、 (名古屋工業大) ・精講 条件式を使って1つの変数を消去す ると, zは1変数関数になります。 つまり,y=1-x より ・解法のプロセス 1つの変数を消去 z=x^(-) (0<x<1) となりますが、 次に dz dx=(z)(1-2)+z^{(1-x)'-^*) =xx'(1-x)'+... としてはいけません。 (x)=x*x*-1 は間違いです. 正しくは、 対数微分法 (標問19の →研究)を利用します。 y=1-x より z=x2 (1-x)-ド 解答 ただし, x>0, y = 1-x > 0 より 0<x<1 ①の両辺の自然対数をとると logz=xlogx+(1-x)log(1-x) で微分して 1. dz 自然対数をとる 対数微分法を利用する 8553 ◆一般に, 変数を消去すると, 残った変数の変域は制限され る d.x log z -(dzlog z)dz zdx =logx+1-log (1-x)-1 d .. dz =z {log.x-log (1-x)} dx dz >0,10gxは増加関数だから, の符号は I 0 dx x-(1-x)=2x-1 dz dx の符号と一致する. よって, zは右表のように増減 L, z=1/2 のとき最小である。 x= ゆえに、(その最小値)=(-12) (12/13-1/ N ... 120 : + > 1

この回答では減点対象ですか？

422 (2) Sa (x-1)² dx Sx²² (x²-2x+1) dx x²-2x²+ズリ - + + 2 3 + C

数3微分 （１）を考えるときの思考のプロセスがわかりません。なにから考えていくのか教えてください

B 4 問 33 三角関数の最大・最小 (2) AB=1, BC=2,CD=3, DA=4 の四角形ABCD をKとする. Kは 条件 (*) ∠A, ∠B, ∠C, ∠D はいずれも0との間にある を満たしている. ∠B=x, <D = y, K の面積をS, α を cosa= 2 3 << で定まる実数とする. (1)x+yのとり得る値の範囲を求めよ. dy (2) Mxyで表せ. dx (3) Sが最大となるのは,Kが円に内接するときであることを示せ. ~ 20/200 (滋賀医科大, 旭川医科大、 法政大 ここで最大 (1) AB+AD=CB+CD=5 より, 解法のプロセス ○精講 xは0<x<πの範囲を動き得る ので,xに応じてyがどう動くか調べるのがよい でしょう. (2) 対角線ACでKを分割し て余弦定理を用いる 陰関数の微分法 (標問30) を使 う (2)との関係を知るには, ACB と △ACD に余弦定理を適用します。 (3)Kが円に内接することは,x+y=πが成 り立つことと同値です. <解答 引き,直線 ーる. OP+00 (1) AB+AD=CB+CD=5 と条件(*)より, rは 0<x<л B 2 C ■のとする。 の範囲を動き得る. (青山学院大) =0, sin0) このとき, ACはの増加関数で,y は AC の 増加関数であるから, yはxの増加関数. したがって, yはxの連続な増加関数である. ......① I B C この曲 で直進する x0 のとき,y → 0 →πのとき, AC3 となるので,Kは AD を底辺とする二等辺三角形に近づく. よって ■値を求め y-a ゆえに,rtyのとり得る値の範囲は 3 第2章 Y

この問題の解答の上から6行目のところにxは0じゃないとして良いと書いてあるのですが、なぜですか？教えてください。

ff(t) すべての実数xについて、等式 xf(x)=x+2" f(t)dt を満たす関数 x f(x) を求めよ。 « @Action 上端(下端)が変数の定積分はf(t)dt=f(x)を利用せよ 例題163 定理の利用 y=f(x) とおくと をxで微分する f(x) +xf'(x)=1+2f(x) = y+xy'=1+2y 微分方程式 にx = 1 を代入 1•f (1) = 1+2 (1) = 1 +2ff(t)dt h tanoith 0 思考プロセス 例題 163 xf(x)=x+2*f(t)dt... ① とおく。 2f*f(t)dt… ① とおく。( ①の両辺をxで微分するとf(x)+xf'(x)=1+2f(x) dy y = f(x) とおくと x =y+1 dx ② 関数 f(x) はすべてのxについて定義されており 定数関数 f(x) = -1 は等式①を満たさないから, x(y+1)=0 としてよい。 よって, ② より 両辺をx 積分すると log|y + 1| = log|x| + Ci よって y = ±ex-1 これより 両辺をxで微分して微分 方程式をつくる。 cxS*f(t)dt = f(x) 関数 f(x) = -1 のと ①の左辺は 右辺はは x+2 x 2∫(-1)dt x-2t |=x-2(x-1) =-x+2 1 dy 1 = y+1dx x dy dx = y+1 x |y+1| = eloglxl+C=ecielog|xl=eci|x| dを満たさない。 ここで, C=±e とおくと y=Cx-1 (C≠0) gol 例題 164 また,① に x = 1 を代入すると f (1) =1であるから, 1=C・1-1 より C = 2 L' f(t) dt = 0 であるか したがって, 求める関数 f(x) は ら f(1) = 1 f(x)= となり,f(x)=-1 は ①

青線を引いたところなのですが、なぜ0<x<1の時のことを考えるのでしょうか。また、積分区間は閉区間内で考えるじゃないですか。等号が成り立たないのは開区間の時だけなのに、②の式ではイコールがつかないのはなんでですか？ すいません。わかりにくいかもです。

232 基本 例題 145 定積分と不等式の証明 (1) 00000 1 が成り立つことを示せ。 (1) 0≦x≦1 のとき,不等式 1+x2=1+x4 1 So (2) 不等式 x1 を示せ。 CHART & SOLUTION [類 静岡大] p.230 基本事項 2 (2)これまで学んできた知識では 1 1+xdx の計算ができない。そこで f(x)≧g(x) ならば f(x)dx≧Sg(x)dx (等号は、常に f(x)=g(x) のときに成り立つ ) を(1)の結果に適用する。定積分=その定義域である関区間内に含まれる 閑区間を指定して定する 解答 (1) 0≦x≦1 のとき (1+x2)-(1+x)=x2(1-x2)≧0 x20,1-x2≧0 よって 1+x2≧1+x>0 ゆえに 1+x2 1+x4 (2)(1) から, 0≦x≦1のとき 積分区間がOcx 1 1+x2 1 1+x4 ① ただし, 0<x<1 のとき ①の等号は成り立たない。 1+x2 よってx Socx dx 4 ・② +Sr<St dx I= o1+x2 において, x=tan0 とおくと 1 == 1+x2 xと0の対応は右のようにとれる。 1+tan'=cos20, dx= 等号は成り立たない。 1 にはx=αtan 0 x²+a² cosig do xC 0 → 1 inf 本間では,(1)(2)の π 00->>> 4 I= ゆえにco50.com doS30-[0]-4 03²o ヒントになっている。 (2)の みが出題された場合は π == = = COS2 また Sdx-[x]- =1 これらを②に代入すると<<1 )(x)かつ Sof(x)dx=Sg(x)dx =1 を満たす f(x), g(x) を見つける必要がある。

三次方程式のグラフはどうやって書けばいいですか？

*480 曲線 y=x-3x2+3x-1と, その曲線上の点(0, -1) における接線で囲まれ た部分の面積Sを求めよ。 教 p.226 研究例1

数2積分の問題です。青い波線より上の部分は解けたのですが、下の積分の式とそのあと微分するところからわからないので解説お願いします。3枚目の写真のように積分の式を考えました。

30<t<1 とする。 放物線 y=x2 と直線 l が点T (t, t2) で接している。この とき, 放物線と直線l, x軸, 直線 x=1 で囲まれた2つの図形の面積の和を Sとする。 Sの最小値を求めよ。

数2積分の問題です。波線より下のβーαがm+√D／2ーmー√D／2の部分がわからないので解説お願いします。

48 放物線 y=x2 と, 点 (1,2)を通る直線で囲まれた図形の面積Sを最 小にするような直線の方程式を求めよ。 | 直線の傾きをとして,面積をmの関数として表す。 面積の計算では -Sex-a)(x-B)dx=21/2(B-α) を利用する。 6 ]x軸に垂直な直線は適さないから,点 (1,2)を通る直線の方程式を y=m(x-1)+2 とおく。 放物線とこの直線の交点のx座標は,方程式 x2=m(x-1)+2 すなわち x2-mx+m-2=0 の実数解である。 方程式①の判別式をDとすると D=(-m)2-4(m-2)=m²-4m+8=(m-2)^+4> 0 ① よって, ① は異なる2つの実数解をもつ。 それらをα, β (α <β) とすると s=f(m(x-1)+2-x)dx=-f(x-a)(x-B)dx/12 また, β-α=- m+√D m- -VD = =√D であるから 2 2 (B-α) S=1/21(√(m-2)+4}3 よって, Sはm=2のとき最小となるから, 求める直線の方程式は y=2(x-1)+2 すなわち y=2x答

解説お願いします🙇‍♀️どうしてPが（t,−3t +9）になるのか教えてください！

(2) 右の図2は、 図 図2 1において, 点PCである のx座標が3より 小さい正の数であ るとき, x軸上に ly +10 A .m 5+ P あり, x座標が -12である点をC -10 -5 XC B とし, 点Aと点C を結び,2点C.Pを通る直線をmとした場合を 表している。 ① 直線が△ACBの面積を2等分するとき, 直線の式を求めよ。 次の内 時の ② 図2において, y 軸を対称の軸として点Bと 線対称な点をDとし,点Dと点Pを結んだ場合 を考える。 △CDPの面積が△ACPの面積の (2 1/3 倍になるとき,点Pのx座標を求めよ。