の
基本 例題 52 2次方程式の解の存在範囲
①①①
2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、定数」の
値の範囲を定めよ。
(1)2つの解がともに1より大きい。
(2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。
2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。
指針
(1)2つの解がともに1より大きい。→α-1> 0 かつβ-1>0
p.87 基本事項 2
1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 → α-3 と β-3 が異符号
以上のように考えると, 例題 51 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを
利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。
2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし,判 | 別解 2次関数
解答別式をDとする。
f(x)=x2-2px+p+2
のグラフを利用する。
=(-p)²-(p+2)= p²-p-2=(p+1)(p-2)
(+1)=2(1)=(+1)(p-2)≥0,
解と係数の関係から a+β=2p, aß=p+20pm=8
(1) α>1,ß>1であるための条件は+b)
軸について x=p>1,
38f(1)=3-p>0
D≧0 かつ (α-1)+(B-1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0 から 2≦p<3
D≧0 から (p+1)(p-2)≥0
よって
p≦-1, 2≦p
......
(α-1)+(β-1) > 0 すなわち α+β-20 から
2p-2>0. > + & p>1 ··
23-p + Ca
(α-1)(β-1)>0 すなわち aβ-(a+β)+1>0 から
よって
Op+2-2p+1>0) (E-
<3
......
③
求める』の値の範囲は, 1, ②, (ST
③
x=py=f(x)
B
x
|(2) f(3)=11-5p<05
③の共通範囲をとって1m1231
2≦p<3
(2)α<β とすると, α <3 <βであるための条件は
(a-3)(β-3)<0
すなわち αβ-3(a+β)+9 <0
題意からα =βはあり
えない。
1つの
ゆえに
p+2-3・2p+9 < 0
= $30 SIN
よって p>
b> 11
