重要 例 32 格子点の個数
00000
|標がともに整数である点) の個数を求めよ。 ただし, n は自然数とする。
|xy 平面において、 次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点(x座標,
(1)x≧0,y≧0, x+2y≦2n
(2)x≧0,y≦ne, y≧xe
指針 「不等式の表す領域」は数学IIの第3章を参照。
nに具体的な数を代入してグラフをかき, 見通しを立ててみよう。
(1) n=1のとき
YA
-x+2y=2.1
n=2のとき
y
x+2y=2.2.
24
-10
18
x
2 3
x
n=3のとき
y I
x+2y=2・3
3
北座
基本20,21
-20
-10
x
n=1のとき 1+3=4,
n=2のとき 1+3+5=9,
n=3のとき 1+3+5+7=16
100
一般 (n) の場合については,境界の直線の方程式x+2y=2nから x=2n-2y
よって, 直線 y=k(k=n, n-1,
から (2n-2k+1)において,k=0, 1,
0) 上には2n-2k+1) 個の格子点が並ぶ
nとおいたものの総和が求める個数
n=3のとき
JA
となる。
(2) n=1のとき
n=2のとき
-y
-y=x21
-y
=x
a
9
n=1のとき
-0
(1−0+1)+(1-1+1)=3
y=x2+
