-
![]()
8
重要 例 96 関数が極値をもたない条件
00000
la を正の定数とする。 関数f(x)=ex+alogx (x>0) に対して,f(x)が極
をもたないようなαの値の範囲を求めよ。
【類 東京電機
基本
指針 微分可能な関数f(x)が極値をもつための条件は,前ページで学んだように
f(x) =0を満たす実数x が存在する かつその前後で∫(x)の符号が変わる
であった。よって, f(x) が極値をもたないための条件は,上の否定を考えて
f(x) =0を満たす実数xが存在しない
f(x) または f(x) 0 が成り立つ
あるいは
である。
ぐにはわからない部分を新たな関数g(x)として,/'(x)の代わりにg(x)の値の変
f(x)の質の変化を調べる必要があるとこの質ではの代わりの式の中の物が
を調べるとよい。
基本
例題
関数f(x)
き、定数
指針
解答
CHART
極値をもたない条件 S'(x) の値の変化に注目
f(x)=eax+alogx から
1
f'(x)=-aex+a-
a(-xe-x+1)
x
xC
g(x)=-xex+1とすると
g'(x)=-1.e-ax-x(-ae-x)=(ax-1)e-ax
g'(x)=0(x>0) とすると,
x>0,a>0であるから
分子の( )内の式を
g(x)=-x+1
として,g(x)の値の変
化を調べる。
解答
x
20
α> 0から x=
a
x≧0 における g(x)の増減 g'(x)
120
a
+
y
表は, 右のようになる。
極小
g(x)
1
7
1
f(x)=1/2x2g(x)であり,
y=g(x)
ae
1
x>0,a>0から,x>0における各 x に対し, f'(x) の符号
ae
0
g(x)の符号は一致する。
a
よって増減表から, f(x) が極値をもたないための条件は,増減表から、常に
x>0において常にg(x) ≧0が成り立つことである。
g(x) 0 は起こり得ない
すなわち
(1/1)=1-1
≥0
(*)
なお,(*)では
(1)>0としないよう
ゆえに
a-10
に。
したがって, 求めるαの範囲は
あるから66
41-
1
ae
0の両辺に
( 0) を掛ける。
[練習 関数 y=10g(x+√x2+1)-ax が極値をもたないように, 定数 αの値の範囲を定め
③ 96 よ。
