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解答
0 が実数解をもつ
3,4,5,6,7, 8 から3つの異なる数を取り出し、取り出した順にa,b,c
重要
例題 41 2次方程式の解の条件と確率
る。このとき, α, b,c を係数とする2次方程式 ax²+bx+c=0
確率を求めよ。
指針
この問題では, 数学Ⅰで学ぶ以下のことを利用する。
2次方程式 ax2+bx+c=0 の実数解の個数と判別式D=64ac の符号の関係
D≧0 のとき,
D>0 のとき、 異なる2つの実数解をもつ
実数解をもつ
D=0 のとき、ただ1つの実数解 (重解)をもつ
D<0 のとき, 実数解をもたない
C
なる。この場合の数を 「α, b,cは3以上8以下の整数｣, 「a=bかつbcかつ
ゆえに,D=62-4ac≧0 を満たす組 (a,b,c) が何通りあるか,ということがカギと
という条件を活かして、 もれなく,重複なく 数え上げる。
できる2次方程式の総数は
2次方程式 ax2+bx+c=0 の判別式をDとすると,実数
解をもつための条件は
D≥0 2
AIR
P3=6・5・4=120 (通り)
20 (通り)組(a,b,c) の総
ゆえに
6248
6=7のとき, ① から
D=62-4ac であるから
62-4ac≧0
≦a≦,3b≦8,3≦c≤8であり, αキc であるから
①より
b24ac4・3・4
} (*)
Dar
= 12.25 DR
D-21
7°≧4ac すなわち ac≦
したがって 求める確率は
......
よって 6=7,8
49
=
4 2
この不等式を満たすα, c の組はae
(a, c)=(3, 4), (4, 3)
b=8のとき, ① から
824ac すなわち ac≦16
この不等式を満たす α, c の組は
である。
SE
(a,c)=(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)
10%
2+4 1
120 20
J
sadar
指針:
acのとりうる
に注目する。
<7²=49>48 で
b=7,
以上8以
数の積は,
3.4=12.
3.6=18
以後も16
よって、
ことがで
