無限級数 1-- +
1 1 1
11 1
+
+
2 2 3 3
4 4
①について
(1)級数 ①の初項から第n項までの部分和を S, とするとき, Szn-1, S2n をそれ
ぞれ求めよ。
(2) 級数 ① の収束, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ
指針 (1) S2-1 が求めやすい。 S2n は Szn = Szn-1+ (第2項)として求める。
(2)前ページの基本例題42と異なり,ここでは()がついていないことに注意。
このようなタイプのものでは, Snを1通りに表すことが困難で, (1) のように,
S2n-1, S27 の場合に分けて調べる。
そして,次のことを利用する。
[1] lim S2n-1= limS2 = Sならば limS=S
n→∞
818
[2] lim S2n-1≠lim S2n ならば
818
基本42
2章
4
無限級数
{Sn} は発散
n→∞
n→∞
(1)
+
上
1
1
(1) S2n-1=1-
1 1 1
1
1
+
+
-
+
+
24-2
2h-1
となら
解答
2 2
3
3
nn
ないの?
1
1
=1
-
2
3
(
1
n
n
部分和(有限個の和) なら
( )でくくってよい。
=1
1
1
S2n=S2n-1
=1-
n+1
n+1
(2) (1)から
81U
(x-
よって
lim S2n-1=1, lim S2,= lim(1)
limSn=1
n→∞
n→∞
したがって, 無限級数 ① は収束して, その和は1
参考 無限級数が収束す
れば,その級数を、順序を
変えずに任意に() でく
くった無限級数は,もと
の級数と同じ和に収束す
ることが知られている。
8
