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重要 例題 237 定積分と漸化式 (2)
395
①の
m,
次の等式を証明せよ。 ただし, sinx=cosx=1である。
0
を0以上の整数として, Im,n=sin "xcosxdx とする。(笑) (1)
((1)(5)
(1) Im,n=In,m
(2) Im.n=
m+n
n-1 Im.n-2 (n≥2)
p.390 基本事項 ②, 重要 218,236
指針▷ (1) sin( 2
π
π
-x=cOS X, COS
2
解答
x=
x=sinx [sin と cos が入れ替わる]に注目し,
=n-tとおき換えて計算し、後で変数を xに直す。さす
(I) (C)
(2) sin”xcosx=(sin"xcosx) cos"-1として部分積分法を用いる。
更に, sinm+2xcos"-2x= sin" xcos”-2x-sin" x cos”x から 同形出現。
π
(1)x= t とおくと
2
dx=-dt
xtの対応は右のようになる。
π
x
0
2
i
よって
Im.n=S
2
sin” xcos” xdx
||2
→ 0
7
34
3定積分の置
2 sin”xcosxdx=In,m
(5)
sin' X
.m+1
cosxdx
Up
(2) n≧2のとき
=S's sin" (cos (1)(-1)dt=S
Ssinxcosxdx=f(sin" xcosx)cos-xdx= =SC
Sinm+1
n-1 x
m+1
= fsin"
①,②から Ssinxcosxdx= Sin"+1xcos"-1x
X COS'
m+1
sinm+1xcosn-1x
m+1
n-1 C
+
m+1.
また Ssinm+2xcos"-2xdx=fsin" xcos"-2x(1-cos"x)dx
sin" xcos"-2xdx-fsin" xcos" xdx
sin x cos"-2x dx
-S
*sinm+1 x
・(n-1)cos” 2x (-sinx)dx
+ S sinmaxcosxx. ①
(2)
+
n_1sinm
mtn
m+n
()
ゆえに So sin
m+1
sin"xcosxdx= sin"
n-1
x COS
x
n-1 C
+
m
m+n
m+n Jo
So sin xcosxdx
したがって
n-1
Im,n=
-Im,n-2
m+n
