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13 演習問題 □□
Pn+1
R₂
Qn
0 <t<1とする。 ▲P,Q,R, において, 辺 Q,R」 を
t (1-t) に内分する点をP2, 辺RP をt (1-t)
に内分する点をQ、辺P1Q」 をt: (1-t) に内分す
る点をR2 とし, △P2Q2R2 を作る。 この操作を繰り
返して, 自然数nに対して, △P,Q,R, において
辺 Q,R, をt: (1-t) に内分する点をP,41, 辺R, P, をt: (1-t) に内分する点をQn+1,
辺 P,Q, をt: (1-t) に内分する点を R,+1 とし, △P,+1Q,+1R+1 を作る。 ▲P,Q,R,
の面積をam とするとき, 次の問いに答えよ。
(1) APR+1Qn+1の面積をa, と tを用いて表せ。また,an+1 を am と tを用いて表せ。
解答
(2) S20 とおくとき, Sをaとtを用いて表せ。
n=1
(1) AP₂R₂+1Qn+1=\P„Q„R₂X-
同様に考えると △QnPn+1Rn+1=t(1-t)an
ARQ+1Pn+1=(1-t)an
したがって
(3) a1=1 とする。 Sを最小とするもの値とそのときのSの値を求めよ。 【大阪市立大学】
公比について
a 1
1- (3t2−3t+1)
S=-
8
よって、無限等比級数 S = Σ a, は収束し, その和は
n=1
PnRn+1 PnQn+1
P,Qn
PR
(2) (1) から,数列{an} は初項 α1,公比 32-3 + 1 の等比数列である。
ついて 312-31+1=(1-2121)+1/
3t 3t
0 <t<1であるから ≒≦3t2−3t+1<1
(3) (2) から, a1=1のとき
An+1 =an−(AP„Rn+1Qn+1+^QnPn+1Rn+1+ RnQn+1Pn+1)
=a,-3t(1-t)a,=(3t2−3t+1)an
0 <t<1であるから
a 1
- 3t² + 3t
S=
1\² 3
- 3t²+ 3t =
= - 3 (1 - 12 ) ² + ³/2
4
1
- 3t² + 3t
×
0<-3t² +3t ≤
したがって, St=1のとき最小値
=1/1/2の
二3
R₂+¹
3
=t(1-t)an
Pn
をとる。
←
Q+1
比を利用して面積比
を考える。
an+1 を で表す。
このことから
an と an+1の面積比が
1:3t23t+1
とわかる。
公比|3t2-3t+1| <1
を示す。
無限等比級数の公式
初項a (0)
ittr(r <1)
Σar-1.
8
n=1
=
a
1-r
Sは分母がの2次
関数なので、分母の範
囲からSの最小値を求
める｡
結果的にt=-とい
うことは,各辺の中点
結んで三角形をつくっ
ていったときに最小と
なるようだ。
