頂角Aが36°の二等辺三角形 ABC がある。この三角形の底角Cの二等分線
重要例題|07 特別な角の三角比
と辺 AB との交点をDとする。
(1) BC=1 のとき,線分 DB, AC の長さを求めよ。
(2)(1) の結果を用いて, cos 36° の値を求めよ。
(類神戸学院大)
基本 103
CHART
S
lOLUTION
(1) 図をかいて角の大きさを調べると, △ABCSACDB (2角が等しい)がわか
る。DB=x とおき, 相似な三角形の辺の比を利用して方程式を作る。
(2) 三角比であるから, 36° の内角をもつ直角三角形を作る。
解
(1) ZACB=(180°-36°) 2=72°
ZDCB=72°-:2=36°
であるから
レ
02od)+(0nlasF0200) (1)
/ABC2CBD s (6+) ass (S)
AABC とACDB において
ZBAC=ZDCB=36°, ZACB= ZCBD=72°
4
ACBDCっ,ABし) 2角が等しい。
相似形は,頂点が対応す
るように順に並べて書く。
「よって
AABCのACDB
BC
ゆえに,
DB
から
CD
AB
BC·CD=AB·DB
の
AD=CD=BC=1 であり, DB=x とおくと
A
AB=AD+DB=1+x であるから,① は
1°=(1+x)x
36°
よって
x°+x-1=0 図
D
これを解いて
-1±V5
x=
2
J O
-1+/5
DR-Y5-1 2008.SS B
1
C
x>0 であるから x=-
2
すなわち
2
5+1
(04)
TOTM
A
また
「AC=AB=1+x=
2
36%
(2)辺 ACの中点をEとすると, ADCA は二等辺三角形であ
2Cの a
るから。
DEIAC
D
(1)から
1
V5+1
ACテカ
90)
V5+1
AD=1,
AE=
4
B
C
=-nの
AE
cos 36°=
tan (90
よって
ニ
三
4
AD。
15°
79 rリ もがらさは 100-()-
PRACTICE. 1078
45°
1
