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2つの等差数列で共通に現れる項の数列 (2)
基礎例題65①①00
発展例題 87
初項 75, 公差3の等差数列{an} と初項 -1, 公差 29 の等差数列{bn}がある。
この2つの数列に共通する項を小さい方から並べた数列{Cn}の一般項を求
めよ。
CHART A
& GUIDE
2つの等差数列{an}, {6} の共通項
110
α = b とおいてとの方程式を考える
p.426 の基礎例題65と同じタイプであるが, {cm} が等差数列になることが断られて
いないことと,初項が見つけにくいため同じ方針では難しい。 ここでは, {an}の第
項と {bn}の第m項が等しいとおいて, lとmの1次不定方程式を解くことを考
えて方程式を変形する。 Cmのnはn ≧1 であることに注意する。
81
次の
(2)
CHI
&
解答
数列{an}の第1項と数列{bn}の第m項が共通であるとする。
a=75+(Z-1)・3=3l+72, bm=-1+(m-1)・29=29m-30
であるから a=bm とすると
3l+72=29m-30
←29m=3l+102
変形すると 29m=3(l+34)
l+ 34 は自然数であり, 29 と 3 は互いに素であるから,kを自然=3(+34) 1
数として m=3k と表される。
m=3kを①に代入して整理すると
l=29k-34
は自然数であるから 29k-341
-29k≥35¹
んは自然数であるから k≧2
よって k-1=nとすると k=n+1, n≧1
このとき m=3k=3 (n+1) であるから
←m=3k から
15
bm=29m-30=29・3(n+1)-30
bm=87k-30
ここで k=n+1 を代入
して
=87n+57
したがって,数列{ cm}の一般項は
MD:
bm=87m+57 OS
Cn=87n+57
と求めてもよい。
参考k=2 のとき m=6, l=24 で b6=a24=144
よって,数列{cm}は,初項 144, 公差 87 の等差数列である。
1④
EE 87 初項 103, 公差 -5 の等差数列{an} と初項 199, 公差 -11の等差数列{bn}
がある。 この2つの数列に共通する項を大きい方から並べた数列{cn}の一般項
を求めよ。
