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このとき, a=
3 極値の条件から求める
(ア) 3次関数f(x)=23+ar2+bx+cはx=1で極大値6をとり,r=2で極小値をとるとする。
=,b=,c= である. また, f(x) の極小値は
□である。
(大阪産大)
(イ) f(x)=x-3ar2+3bx について、 次の問いに答えよ.
(1) f(x) が極値を持つ条件をα, b で表せ.
(2) f(x)の極大値と極小値の差が4となるための条件を a, b で表せ.
(鈴鹿医療科学大)
f'(x) を主役にする
f(x) が3次関数のとき, f (x)は2次関数になり, 極値をとるェの値が
1,2と与えられると,'(1)=f(2) = 0 となるので、f'(x)はほとんど決まってしまう.
f(x)=2x+a2+bx+c の未知数a, b, c についての関係式を立てて a, b, c を求めるよりも、f'(x)
を求めにいった方が手際よい.
3次関数の極値の差は導関数の定積分で
f'(x) =0の解をα, β (α <β) とすると
f(x)=a(x-a)(z-B)とおける.また, 極値の差は,f(a)-f(B)=fff'(x) dr である.こうと
らえると,定積分の公式∫(エーα) (1-B) dr=-1/2 (B-α)を用いることができて計算が楽になる.
(2)は多収式]
解答
18
(ア) f(x) = 2x3+ax2+bx+c...... ① f'(x)=6x2+2ax+b...... ②
f(x)はx=1, 2で極値をとるから、 (x)=0の解がx=1,2となり,
f'(x) は, (x-1)(x-2)で割り切れる。 ②で2次の係数が6であることから
f'(x) =6(x-1)(x-2)=6x²-18x+12
因数定理
②より 2a=-18, 6=12
. α=-9, b=12
zat4a-46
zat 2/a-b
f(x)=2x3-9x2+12x+c
2
2
f(1) =6より, 2-9+12+c=6 .. c=1
極小値は, f (2) =2・23-9・22+12・2+1=5
(イ) (1) f'(x)=3(2-2ax+b) f'(x) =0が相異なる2実解を持つこ
とが条件で, 判別式D>0. つまり、α-60
(2) f(x) =0を解いて,r=a±√d-ba=a-
a=a-√√a²-b, B=a+√a²-b
とおくと, f'(x)のxの係数が3であるから, f'(x) =3(x-α)(x-β)
f(a)-f(B)=f(x)dx=∫3(エーα)(エーB)dr=2 (α-B)3
f(a)--
SS f(B)
N
|y=f(x)
if(a)>f(B)
>>√ª² (x-a) (x−B) dx
€( 9 −zº / )v=e( 9—¿º (2) ² =¢( 0-8)=
極値の差が4であるから, 4(√2-634 S .. α-b=1
[6分の1公式]
