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基本例題108 素数の問題
(2) , g, rp <g <r である素数とする。 等式r = g² -p を満たすか,q, r
(1) nは自然数とする。n²+2n−24 が素数となるようなnをすべて求めよ。
[(2)類 同志社大)
組 (p, g, r) をすべて求めよ。
自分自身) だけである
指針▷
素数の正の約数は 1
このことが問題解決のカギとなる。 なお,素数は2以上 (すなわち正)の整数である。
(1) n²+2n−24=(n-4)(n+6) これが素数となるには,n+6>0と より,カー4)
n+6のどちらかが1となる必要がある。 ここで,n-4とn+6の大小関係に注目する
と, おのずとn-4=1に決まる。
奇偶=
目すると g-p=1
(2)等式を変形すると (g+p) (g-p=r g+p>g-p>0,r は素数であることに注
ここで, g, p はその差が奇数となるから,
一方が奇数で,他方が偶数である。 ここで, 「偶数の素数は2だけ
である」という性質を利用すると, かの値が2に決まる。
奇奇=個
偶
=偶
偶
【CHART 素数 正の約数は1とその数だけ 偶数の素数は2だけ
解答
(1) n²+2n−24=(n-4)(n+6)
nは自然数であるから n +6> 0
n²+2n−24が素数であるとき, ① から
よって
このとき
n-4=1
ゆえに
n=5
n²+2n−24=(5-4)(5+6)=11
これは素数であるから, 適する。
したがって
n=5
(2) r=q²-p²-5
(1)
また n-4<n+6
n-4>0
POINT
(q+p)(q-p)=r
0 <p <g <rであるから
rが素数であるから ② より
gtp=r, g-p=1
gp=1 (奇数)であるから, g, かは偶奇が異なる。
更に, p<g であるからp=2
よってg=3
ゆえに
r=3+2=5
したがって
(p, q, r)=(2, 3, 5)
■まず, 因数分解。
(*) n-4=1が満たされて
もn+6=(合成数)となって
しまっては不適となる。 その
ため, n²+2n−24 が素数と
なることを確認している
[n+6=5+6=11 (素数)の
}………(*)
の確認だけでも十分である]。
(2)
0<g-p <g+p
2 整数の和(または差)が偶数
整数の和 (または差) が奇数⇔
IS
}
素数は2以上の整数。
g, pのどちらか一方は2
となる。
2整数の偶奇は一致する
2 整数の偶奇は異なる
KLASSIES IST
練習
(1) nは自然数とする。 次の式の値が素数となるようなn をすべて求めよ。
3 108
(ア) n²+6n-27
