112.2 問われていることとはあまり関係ないのですが nとn+1って全ての自然数において互いに素なような気が感覚的にしたのですが、例えばnとn+1が互いに素ではないときってn=何のときですか？？

480 00000 基本例題112 互いに素に関する証明問題 (1) (1) nは自然数とする。n+3は6の倍数であり,n+1は8の倍数であるとき, n+9 は 24の倍数であることを証明せよ。 (2) 任意の自然数nに対して,連続する2つの自然数nとn+1は互いに素であ ることを証明せよ。 ATUNATI p.476 基本事項 ② 基本 111 重要 114 CFS CITAT 指針 (1) 次のことを利用して証明する。 a, b, kは整数とするとき a,bは互いに素で, ak が6の倍数であるならば,hは6の倍数である。 TRAXE SHES OU MOC! (2) 1 +1は互いに素⇔nとn+1の最大公約数は nとn+1の最大公約数をg とすると n=ga, n+1=gb (a,b は互いに素) この2つの式からnを消去してg=1 を導き出す。 ポイントは 【CHART A,Bが自然数のとき, AB=1 ならば A=B=1 求める。(間 解答 (1) n+3=6k,n+1=81 (k, lは自然数)と表される。 n+9=(n+3)+6=6k+6=6(+1) n+9=(n+1)+8=81+8=8(1+1)+ M=5A JES RAJS a,bは 11 ak = bl ならばんは6の倍数, 1はαの倍数 互いに素 ②2 aとbの最大公約数は 1 <<549° よって 6(k+1)=8(+1) すなわち 3(k+1)=(2+1) 3と4は互いに素であるから,k+1は4の倍数である。このとき,l+1は3の倍数 したがって,k+1=4m (mは自然数) と表される。 である。 したがって, ゆえに n+9=6(k+1)=6.4m=24m +1=3m と表されるから, したがって, n +9 は 24の倍数である。 n+9=8.3m=24m (2) nとn+1の最大公約数をg とすると n=ga, n+1=gb (a,bは互いに素である自然数 と表される。 n = ga をn+1=gb に代入すると ga+1=gb すなわち g ( 6-α) = 1 g,a,bは自然数で,n<n+1より6-a>0であるから g g=1 (1) としてもよい。 KBT BOE-S) IS = よって, nとn+1の最大公約数は1であるから, nとn+1 (ST 8 は互いに素である。 )=(62. 注意 (2) の内容に関連した内容を,次ページの参考で扱っている。 BOSTOYEVS nは自然数とする。 n +5は7の倍数であり、 Ad>D An=ga, n+1=gb 積が1となる自然数は1だ けである。 08 S (()(A) n+7は5の倍数であるとき、

[２]と[３]を求める理由が分かりません。 解説お願いします🙇‍♀️

例題33 2次関数y=x2-2mx+m+2のグラフとx軸のx>1 の部分が異なる2点で交わると き、定数mの値の範囲を求めよ。 解答 f(x)=x2-2mx+m+2 とする。 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=mである。 この放物線とx軸のx>1 の部分が,異なる2点で交わるのは、次[1][2], [3] が同時に 成り立つときである。 [1] グラフとx軸が異なる2点で交わる。 2次方程式f(x)=0 の判別式をDとすると D=(-2m)²-4(m+2) = 4(m²-m-2) 1 D> 0 から m<-1,2<m [2] 軸x=mについて m>1 [3] f(1) > 0 すなわち 12-2m・1+m+2>0 よって 3-m>0 したがって m <3 ①,②,③の共通範囲を求めて 2<m<3 ② 3-m 0 1 m x

このグラフはなぜ原点を通るのか教えてほしいです！ θに0を代入して、cos（-1/2）となると考えたのですが どこで勘違いをしたのでしょうか？ 追加でテストでグラフを書く際にどこまでの値を書くのか 教えてほしいです🙇

軸を のであ ある｡ T 00/= (2) cos30 os (30-7)=cos3(0-7) 2 6 このグラフは,y=cos30 のグラフを,0軸方向 にだけ平行移動したものである。グラフは 周期は cos30 の周期に等しく, [図], 2m×1/3=1/2/3である。 2X π 2 -π 6 3 2 π 6 T 3 y 1 π -1 3 2 AAAA 5 6 6 2-3 π π ........... 7 6 ・π 5-3 4 3" 3″ 3 11 6 2π ・π 0 コ

どういう計算でこうなったのか詳しく教えていただきたいです！！至急お願いします🙇‍♀️

円の半径をrとすると 1\2 4 r2=-3m²-2m+1=-3(m+ -3 (m + 1/3 ) ² + + 7/3 ①の範囲で、2はm= 1/23 で最大値 をとる

この問題の答はy＝20−xなのですがあっていますか?

関係を表す式 p.116 問3 3 20cmのひもからxcm切り取った ときの残りの長さをycm とするとき, 次の問いに答えなさい。 IC の値に対応するyの値を求めて,下 の表を完成させなさい。 2 4 12/3 x(cm) 1 3 g(cm) 198171615 5 (2)との関係を式に表しなさい。 y ==x+20

119. cが3の倍数でないときcの2乗を3で割ったときは2ではないのですか？（a^2+b^2の余りが2でa^2+b^2=c^2なので余りが2だと思いました。）

-9 い。 つ 考え お 。 重要 例題 119 等式 a²+b²=c^に関する証明問題 a,b,cは整数とし,+b2=c^2 とする。a,bのうち、少なくとも1つは3の倍 数であることを証明せよ。 基本 117 指針>「少なくとも1つ」の証明では、間接証明法 (対偶を利用した証明, 背理法) が有効であ る。ここでは,背理法を利用した証明を考えてみよう。 「α, bのうち、少なくとも1つは3の倍数である」の否定は, 「α6はともに3の倍数でない」 であるから, a =3m+1,3m+2;6=3n+1,3n+2 (m,nは整数)と表される。 よって, a,bがともに3の倍数でないと仮定して, d'+b2=c^2 に矛盾することを導く。 CAHOTSAL 08 CHART の倍数に関する証明なら, で割った余りで分類 解答 a,bはともに3の倍数でないと仮定する。 このとき,a2, 62は (3k+1)=3 (3k²+2k)+1, (3k+2)^=3(3k²+4k+1) +1 のどちらかの式のkに適当な整数を代入すると, それぞれ表さ れる。 3k2+2k, 3k²+4k+1は整数であるから、3の倍数でない数α, bの2乗を3で割った余りはともに1である。 [+5] したがって, a2+b2を3で割った余りは2である。…… ① 一方,cが3の倍数のとき, c2は3で割り切れ, cが3の倍数でないとき, cを3で割った余りは1である。 すなわち,c2を3で割った余りは0か1である。 2 ① ② は a²+6°= c2 であることに矛盾する。 -- ゆえに,a^2+b2=cならば、a,b のうち、少なくとも1つは 3の倍数である。 (平方数とは、自然数の2乗になっている数のこと。) DCは奇数である 【検討】 ピタゴラス数とその性質 a2+b2=c2 ゴラス数 (a,b,c) について,次のことが成り立つ。 a, ものうち、少なくとも1つは3の倍数である。 (2) a,bのうち、少なくとも1つは4の倍数である。 a,b,cのうち, 少なくとも1つは5の倍数である。 3 参考 <a =3m+1,b=3n+2 など の場合をまとめて計算。 [①の理由] ( 3K+1)+(3L+1) =3(K+L)+2 AASURA NOTAR 注意 「平方数を3で割った余りは0か1である」 (上の②) も, 覚えておくと便利である。 **a, (K,Lは整数) (から。 (左辺)÷3の余りは2 (右辺) ÷3の余りは0, 1と なっている。 A を満たす自然数の組 (a, b, c) を ピタゴラス数 という。 A を満たすピタ FC <重要例題 119 p.491 EXERCISES 86 p.496 練習 123 (2) ①② から abは12の倍数であり, 1~③から, abc は 60 の倍数である。 b,c, d が等式α'+b'+c2=d2 を満たすとき, dが3の倍数でないな の中に3の倍数がちょうど2つあることを示せ。 [一橋大] Op.491 EX86 489 4章 18 整数の割り算と商および余り あ あ 九

数学Bの漸化式の問題です。なぜ8行目のbn+1=3bn+2から9行目のbn+1+1=3(bn+1)になるのかが分かりません。私には、変形してるのではなく、どちらの式にも+1しているように見えるのですが、なぜそんなことが出来るのでしょう？( ; ; )わかる方教えてください🙇‍♀️

(2) a, >0であるから、漸化式より a20 同様にして as > 0 これを繰り返して、 [すべての自然数nについて an> 0 よって、各項の逆数が存在して、漸化式から 1_2an+3 anti an すなわち 1 Anti ここで、bm=m/mm² とおくと an この式を変形すると bmt1+1=3(bm+1) = 2 + 2²/ 3. an とおくと bm+1=3bm+2 またbi+1=1+1=3 ゆえに、数列{bn+1}は初項ろ、公比ろの 等比数列で bn+1=3.3m-l=3m

漸化式です。 線のところを教えてください。 よろしくお願いします。

A (2) 漸化式を変形すると Qm+1-3=1/23(0,-3) 1, STA ? bn=an-3 とすると bm+1=1 / 76 =3on IL ET よって,数列{bn}は公比 1/3の等比数列で,初項 は b1=α1-3=1-3=-2 数列{bn}の一般項はb=-2( n り したがって,数列{an}の一般項は,an=bn+3 1\n-1 an=20 +3 3 iter/1 1\n-1 x = -2 ( ²3 ) * ²

整数の問題です。青マーカー部分の分からないところ3点を解説して欲しいです。 (2)g≧3とa-b≧2はどのように求められたのですか？ (3)p≧5はどのように求められたのですか？ また、p≧5よりm≧2もどのような思考プロセスで導いたのですか？ お願いします。

88 (10nが正の偶数のとき, "-1は3の倍数であることを示せ。 ? X (2) nを自然数とする。 2" + 1 と 2 -1 は互いに素であることを示せ。 (3),gを異なる素数とする。 - を満たすか、4の組をすべて求 めよ。 [15 九州大〕

(3)はなぜ、最小値から変形したら求まるのでしょうか？🥲

146 xの2次関数y=2x²4mx+8mの最小値をkとする。 (1) この関数の最小値 をmの式で表せ。 (2) この関数の最小値 が6であるとき,の値を求めよ。 (3) の値を最大にするmの値とんの最大値を求めよ。