重要 例題 160 媒介変数表示の曲線と面積(2)
媒介変数によって, x=2cost-cos2t,
y=2sint-sin2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と,
x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
YA
x
基本156
CHART & SOLUTION
基本例題156では,tの変化に伴ってxは常に増加したが,
この問題ではの変化が単調でないところがある。
y
Y2
右の図のように, t=0 のときの点を A, x座標が最大とな
る点を B(t=to で x 座標が最大になるとする), t=πのと
きの点をCとする。
S
B
A
-3
O 1₁
x
Xo
この問題では点Bを境目としてxが増加から減少に変わり,
軸方向について見たときに曲線が往復する区間がある。
したがって, 曲線AB を y, 曲線 BC を y2 とすると,求め
る面積Sは
t=π
t=0
●t=to
曲線が往復
している区間
s=Sydx-Sy yidx
と表される。
よって、xの値の増減を調べ, x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式を立てる。
また,定積分の計算は、置換積分法によりxの積分からtの積分に直して計算するとよい。
解答
図から, 0≦t≦↑ では常に
y≥0
また
y=2sint-sin2t=2sint-2sintcost
=2sint(1-costするど
よって, y=0 とすると
sint=0
または cost=1
24
0≤t≤ x 5
t=0,0-(D)\\
次に, x=2cost-cos 2t から
7
dx
=-2sint+2sin2t
dt
xh (bala-nia)
Daia
inf. 0≤ts D
sint≧0, cost ≦1 から
y=2sint(1-cost)≧0
としても,y≧0 がわかる。
455-25
=-2sint+2(2sintcost)_(n)\
=2sint(2cost-1)
0<t<πにおいて
dx
dt
-= 0 とすると, sint>0 で
あるから
π
t
0
π
|3|
cost=
201
ゆえに
dx
t=
J3
dt
+
よって、xの値の増減は右の表のようになる。
x
1
→>>>
032
↑
P
-3
