る.
をそ
して
Focus
a+b+c=1.abe=be+ca+ab
とも1つは1に等しくなることを証明せよ。
考え方]
「
のうち少なくとも1つは1に等しい」とは､
a=1 または b=1 または e=1」 のことである。
実数α, βについて αβ=0 のとき、 α=0 または 8=0 であることを利用する。
a,b,cのうち、少なくとも1つは1に等しくなるとは,
a=1 または b=1 または e=1
のことである.
のとき, 実数a,b,cのうち少なく
したがって
(a-1)(b-1)(c-1)=0 ......①
であることを示せばよい.
①の左辺を変形すると.
(a-1)(b-1)(c-1)
=(ab-a-b+1)(c-1)
=abc-ab-ac+a-bc+b+c - 1
=abe-(bc+ca+ab)+(a+b+c)-1
=abc-abc+1-1=0
条件を利用して ① が成
り立つことを示す。
したがって, a+b+c=1.abc=bc+ca+ab のとき abc=bc+catah
等式 ① は成り立つから. ①より
|a+b+c=1
α-1=0 または 6-1=0 またはc-1=0
よって, a=1 または b=1 またはc=1 となり.
a b c のうち少なくとも1つは1に等しくなる.
(別解) 実数 a b c が与えられた条件を満たすとき
実数 a b c を解とする3次方程式は.
abc=bc+ca+ ab=k (k は実数) とおくと.
x-x+kx-k=0
と表せる.
これを変形すると,
x(x-1)+k(x-1)=0
(x-1)(x²+k) = 0
よって, x=1 を解にもつので、 a.b.cのうち
少なくとも1つは1に等しくなる.
実数α. β.yについて
aβy=0
⇔α = 0 または
80 または
y=0
3次方程式
ax2+bx+cx+d=0
の3つの解をα. B. yと
すると.
a+β+y=- b
a
a+by+ya=/c
aβy=- d
a
(p.120 解説参照)
「少なくとも1つは☆に等しい」 は 「積) =0」 を示せ
注〉 (a-b)(b-c) (c-α)=0 となるとき, a b または b c またはca」 であるか
ら、「a b c のうち少なくとも2つは等しくなる」 となる。
