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CHART自然数 n の問題 数学的帰納法で証明
指針>自然数nについての問題であるから, 数学的帰納法 による証明が有効である。
|が成り立つことを証明せよ。ただし,f®(x)=Df(x) とする。
重要 例題158 第n次導関数と等式の証明
269
1 の
V1-x?
(1-x)fntD(x) (2n+1)xf'm (x)-nfin-D(x)3D0 (nは自然数)
関数/(x)=
(-1<x<1) について, 等式
【類静岡大)
基本 157
n=k+1のとき, 等式は
(1-x)f*+2) (x)-(2k+3)xf'h+1) (x)-(k+1)f®(x)%=0
これをn=kのときの等式を仮定して証明する。具体的には、f'a+2)(x) を作るために,
n=kのときの等式の両辺をxで微分し,それを変形する。
5章
22
n
解答
証明したい等式を①とする。このとき
f(x)=(1-x°)を, f(x)=x(1-x°) 、
f"(x)=(1-x)+x-(1-x)(-2x)
={(1-x°)+3x°}(1-x°)~%= (2x°+1)(1-x)
[1] f(x)=x(1-x)
=x{f(x)}°
f"(x)={f(x)}°
+3x(f(x)}{f(x)
[1] n=1のとき
(1-x)f"(x)-3xf'(x)-f(x)
=(2x?+1)(1-x)テー3x°(1-x)-(1-x)
=(1-x°)(1-x)ー(1-x°)=0
よって, ① は成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
(1-x)fla+1)(x)ー(2k+1)xf\a)(x)ードfla-1)(x)=D0 o
n=k+1 のときを考えると, この両辺をxで微分して
-2xflk+1)(x)+(1-x)fla+2)(x) (2k+1)f®(x)
3
3
したがって
f"(x)
;=f(x)+3xf°(x)
F(x)}
1
=1-x°から
{f(x)}
(1-x)f"(x)
=f(x)+3xf°(x)
としてもよい。
4+)(x)}=f*+2)(x)
fu(x)}{=f"*+1) (x)
G-(x)}}=f®(x)
ー(2k+1)xf'h+1)(x)-kgm(x)=0
これを変形すると
(1-x)+2(x)-(2k+3)xf\k+1)(x)ー(k+1)'ym(x)%=D0
よって, n=k+1のときも①は成り立つ。
1, [2] から,すべての自然数nについて①は成り立つ。
S高次導関数、関数のいろいろな表したと!
