pan+ (n の1次式) 型の漸化式 00000
a=1, an+1=3an+4n によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
基本 116
指針▷ p.560 基本例題116 の漸化式 an+1=pan+gのgが定数ではなく,nの1次式となってい
る。このような場合は, n を消去するために 階差数列の利用を考える。
CHART 漸化式αn+1=pan+ (n の1次式) 階差数列の利用
3章
解答
15
an+1=3an+4n
......
① とすると
an+2=3an+1+4(n+1)
①のnにn+1 を代入する
と②になる。
②
② ① から
N
an+2an+1=3(an+1-an) +4
an+1-an=bn とおくと
差を作り, n を消去する。
{bn} は{an}の階差数列。
bn+1=36n+4
2
BEST
bn+1+2=3(bn+2)
α=3a+4から a=-2
これを変形すると
また
b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8
<az=3a+4•1=7
よって, 数列{bn+2} は初項8,公比3の等比数列で
bn+2=8.3-1 すなわち bn=8.3-1-2
......
n≧2のとき
n≧2のとき
n-1
n-1
8(3-1-1)
an= a₁ + (8.3k-¹-2)=1+
-2(n-1)
an= a₁ + Σ br
k=1
3-1
k=1
......
=4.3"-1-2n-1・
3
n=1のとき
4・3°-2・1-1=1
VE
初項は特別扱い
α=1であるから. ③ はn=1のときも成り立つ。
したがって an=4.3" 1-2n-1
S-E-
[参考]
(*)を導いた後, an+1-an=8・3″-1-2に①を代入してan を求めてもよい。
700 HA S-
(E-,d))
(*)
漸化式と数列
