-
![]()
-
![]()
ro
472
例題 272 不定方程式 〔6〕 2元1次 (互除法の利用)
次の方程式を満たす整数x,yの組をすべて求めよ。
(1) 67 x + 107y=1
思考プロセス
例題
263
<< Re Action 1次不定方程式は、 まず1組の解を見つけよ 例題 270
係数 67, 107 が大きく, 1組の解を見つけにくい。
Action> 1次不定方程式の1組の解は,互除法を利用して求めよ
段階的に考える
友
不
x,yの係数
\67 107 で互除法
107 = 67 × 1 + 40
67 = 40 ×1 + 27
40 = 27 × 1 + 13
27 = 13 ×2 +1
(2) 67 x + 107y = 3
｢余り」を残して
移項
107-67 x1 = 40
67-40×1= 27
40-27×1=13
27-13×2=1
最後 ⑩ から始めて
「余り」を次々に代入)
A
B
C
B
D A
67 × ] + 107 x
(2) 与式の右辺は3だが,どうすればよいか?
D
C
= 1 が得られる。
解 (1) 方程式 67x+107y=1･･・･ ① の係数 67 と 107 について 不定方程式を満たす1組
の整数解が簡単に見つか
107 = 67 × 1 +40 より 107-67×1= 40
67 = 40 × 1 + 27
より
67-40 × 1 = 27
40 = 27 × 1 + 13
より
40-27×1=13
27 = 13×2+1
より
27-13×2=1
⑤ に ④ を代入して
なる。
よって, x-8107n (nは整数)とおくと
x = 107n+8
これを ⑦ に代入して y=-67-5
27-13×2=1
40-27 × 1 = 13 代入して整理
67-40 × 1 = 27 代入して整理
107-67 × 1 = 40 代入して整理
③3③
...(4)
...
27- (40-27×1)×2=1
(27+27×2=40×2=1
27×3+40×(-2)=1
③ を代入して (67-40×1) ×3+40 × (−2)=1
67 × 3 -40 × 3 +40× (−2)=1
67x3+40×(-5)=1
② を代入して 67 × 3 + (107-67×1) × (−5)=1
67 × 3 + 67 × 5+107× (−5)=1
67X8+107X(-5)=6
⑥ より, x=8, y = -5′は方程式 ① の整数解の1つで
ある｡
① - ⑥ より 67(x-8)+107(y+5) = 0
67(x-8)=-107 (y+ 5 )
67 107 は互いに素であるから, x8は107の倍数と
らないときは,ユークリッ
ドの互除法の手順を利用
する。
④ を 1340-27×1 と
考えて ⑤ に代入し 27 と
40 について整理する。
③を2767-40 ×1 と
考えて代入し, 6740に
ついて整理する。 V
001
②を40=107-67 × 1
と考えて代入し, 67 と
107 について整理する。
方程式 ①の1組の解が見
つかったから、以下は例
題270の方法と同じであ
