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重要 40 =f(n)an-, 型の漸化式
00000
| a1=113 (n+1)a=(n-1)a- (n≧2) によって定められる数列 (a)の一般
を求めよ。
n -1
指針 与えられた漸化式を変形すると
Anm
an-1
n+1
an=f(n) (f(n-1)an-2)
[類 東京学芸
これは p.471 基本例題 39 に似ているが, おき換えを使わずに,次の方針で解ける
[方針1] an=f(n) an-1 と変形すると
これを繰り返すと
an=f(n)f(n-1)...... (2) a
よって,f(n)f (n-1)......f (2) はnの式であるから, am
が求められる。
[方針2] 漸化式をうまく変形してg(n)an=g(n-1) α-」 の形にできないかを考え
る。この形に変形できれば
g(n)an=g(n-1)an-1=g(n-2)an-z==g(1)a,
であるから, an=
g(1)ai
g(n)
として求められる。
解答 1. 漸化式を変形して
解答
n-1
n+1
an= an-1 (n≥2)
n-1 n-2
ゆえに an=
an-2 (n≥3)
n+1
n
これを繰り返して
n1.n-2.n-3.
an=
n+1
2-1
n n-1
32
54
3
よって an=
(n+1)n2
すなわち an=
1
①
n=1のとき
n-l
an=
n+1-1
n-2
n+1
n
a-t
n-2
n+1
72
n-3
n(n+1)
1
1-1+1)=1/12/
a=1/2 であるから,①はn=1のときも成り立つ。
解答 2. 漸化式の両辺に n を掛けると
よって
したがって
(n+1)nan=n(n-1)an-1 (n≧2)
(n+1)nan=n(n-1)αn=......=2・1・α=1
1
an=n(n+1)
<n+1とn-1の間にあ
るnを掛ける。
数列{(n+1)na.} は す
べての項が等しい。
これは n=1のときも成り立つ。
練習
a₁ =
0
求めよ。
(n+2)n=(n-1)an-1 (n≧2) によって定められる数列{a} の一般項を
[ 類 弘前大]
