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Condu VAGOAT-/
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重要 例題 68 定義域によって式が異なる関数 (2)
関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
き,次の関数のグラフをかけ。
(1) y=f(x)
(2) y=f(f(x))
解答
(1) グラフは 図 (1)。
(2f(x)
(0≤ f(x) <2)
(2) f(f(x))= [8-2f(x) (2≦f(x)≦4)
X001
指針>定義域によって式が変わる関数では,変わる境目のx,yの値に着目。
(2) f(f(x)) f(x)のxにf(x) を代入した式で,
0≦f(x)<2のとき 2f(x),
(1) のグラフにおいて, f(x)<2となるxの範囲と, 2≦f(x) 4 となるxの範囲を見
極めて場合分けをする。
よって, (1) のグラフから
0≦x<1のとき f(f(x))=2f(x)=2.2x=4x
1 1
T
1
1≦x<2のとき f(f(x))=8-2f(x)=8-2・2x=8-4x
2≦x≦3のとき f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)=4x-8
3<x≦4のとき f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)=16-4x
よって, グラフは図 ( 2 ) 。
(1)
O 1 2 3 4 x
(2)
4
f(x)={
2≦f(x)≦4のとき 8-2f(x)
0 1234
x
[参考] (2)のグラフは,式の意味を考える方法でかくこともできる。
[1] f(x) が2未満なら2倍する。
E
18-2x (2≦x
[2] f(x) が2以上 4以下なら, 8から2倍を引く。
[右図で、黒の太線・細線部分がy=f(x), 赤の実線部分が
y=f(f(x)) のグラフである。] なお, f(f(x)) f(x) f(x) の
合成関数といい, (fof) (x) と書く (詳しくは数学ⅢIで学ぶ)。
0000
■変域ごとにグラフをかく。
(1) のグラフから, f(x)の
変域は
YA
2
0
0≦x<1のとき
0≤ f(x) <2
1≦x≦3のとき
2≤ f(x) ≤4
3<x≦4のとき
0≦f(x)<2
また,1≦x≦3のとき
f(x) の式は
1≦x<2なら f(x)=2x
2≦x≦3ならf(x)=8-2x
のように,2を境にして式
が異なるため, (2) は左の解
答のような合計4通りの場
合分けが必要になってくる｡
9
2
2倍する
8から2倍を
引く
2
