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例題 158 約数の個数
男の金
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(1)(a1+az)(bi+b2+ba+ba) (ci+C2+ca) を展開すると,異なる項は何
個できるか.
X2200の約数の個数とその総和を求めよ.また,約数の中で偶数は何
個あるか ただし, 約数はすべて正とする.
考え方 (1) (α)+α2)(b)+b2+bs+ba) (Ci+C2+c3)
たとえば, (a1+a2)(by+b2+bs+bs) を展開してできる arb に対して,
a*bi (Cr+C2+cs) の展開における項の個数は3個である
(a1+az)(bi+b2+bg+b4) を展開するとき, abı のような項がいくつできるか考
えるとよい.
(2) 1か2か2か23 × 1か5か52 であるが, (1+2+2+2°)(1+5+5)を展開すると、
1×1,
1×5,
②×14×1, 8×1,
②×54×5,8×5,
1×25, 2×254×25,8×25
がすべて一度ずつ現れる.したがって,約数の総和は,次のようになる。
(1+2+4+8)×1+(1+2+4+8)×5+ (1+2+4+8)×25
=(1 + 2 + 4 + 8 ) ( 1 +5 +25)
200=2×52 より,約数が偶数になるのは,1以外の23の約数を含むときであるか
ら、2か22か2を含む約数の個数を求めればよい.
a1, a2の2通り
bi, 62, 63, b4 の4通り
例題
60
求め
「考え方
解答
(1) (a1+a2)(b1+b2+63+64) を展開してできる項
の個数は、2×4(個)である。
〇のこと
のこと
また, (a1+a2)(61+62+63+64) の1つの項
ab に対して,
てかける
日数は序数+a*bi(c+cz+C3)010
off よって, 求める項の個数は,
(2)200 を素因数分解すると,
(3+1)×(2+1)=12
の C1, C2 C3の3通り
の展開における項の個数は3個である.
2×4×3=24 (個)
200=23×52
積の法則
より、約数の個数は,
12個
1 21
22 23
また、約数の総和は,
11.1
(1+2+2+2)(1+5+52)=465
100
2.122-1 23-1
51 15 251 2% 51 2°•5'
また, 偶数の約数は, 2か22か2を含むもの
だから, ・5,52,
3×2+1=9
かけたやっ
52 1.52 2.52 2.52 23•52
偶数になるのは, 1 以外の
2'の約数を含むとき
より, 偶数の約数の個数は,
9個
Focus
合
約数の個数は,素因数分解し、 積の法則を利用する
数個数は,素因数分解し、積の法則を利用する
用
a × 6° Xc" の約数の個数は,(n+1)(g+1)(n+1)個 (a,b,cは素数)
