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例題
151
図形への応用
長さ1の線分ABを直径とする円周上の1点をPとし,
PAB=0 とする。
のとき, 3AP+4BP の
最大値と最小値を求めよ.
解答
T
T MOST
考え方] 三角関数の合成公式 asin0+bcos0=√a²+b2sin (0+α) を利用する.
100=1/5における0+α=xの変域を調べ、y=a+b singのグラフで考える。
3AP+4BP=3cos0+4sin0=y とおくと
(0+α)
y = 4sin0+3cos0=5sin
3
15'
ただし,
∠APB= より AP=ABcos0= cos0, BP=ABsin0=sin0
=よ
2
sin a=-
となるから,
0+α=x とおくと, y=5sinx であり,
TU より。
Tr.. << 2
1 3 √2
また、
3
TU
2
TU
cosa= (0<a<)
<a<14
TL
よって、a+
6
TU
a+≤x≤a +1
6
4
5
TU
, sin <sin a <sin
12
TU
?
<a+</27/
3 12
=5sinx のグラフは右の図のようになる。
つまり,
TU
したがって, yはx=0+α=
07-αのとき最大となり,最大値は、
5sin 7=5
2
A
yA
3√3+4
2
50
****
最小
a+
Ho
0
B
α+
られないので、値の範囲を
しほりこんでおく。
na
-4 15 x
-5
205
α+1号の値は求め
a+
5
7
3
また sin (+)<sin 1/12=sin 1/12 <sin (a+2) より.yは
x
- 最大
y=5sinx
TC 5 TU 7
π
3/127212 T
a+
CON
52
3
100%
x=0+α=a+1/つまり、9=7のとき最小となり、最小値は、
(3√3
4
5sin(a+)-sine cas+cosasin =)-(312) 3√3+4
2
6
以上より, 最大値 5, 最小値
第4
