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重要 例題 143 三角方程式の解の存在条件
10 の方程式 sin20+acos0-2a-1=0 を満たす0があるような定
ure
囲を求めよ。
指針▷ まず, 1種類の三角関数で表す
(1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち x2-ax+2a=0 ......
解答
cos0=x とおくと, -1≦x≦1であり, 方程式は
(1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0... ①
この左辺をf(x) とすると, 求める条件は, 方程式f(x)=0が
-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつことである。
これは, 放物線y=f(x)とx軸の共有点について,次の [1] ま
たは [2] または [3] が成り立つことと同じである。
口 [1] 放物線 y=f(x) が-1<x<1の範囲で, x軸と異なる2
点で交わる, または接する。
よって、求める条件は、 2次方程式 ① が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもっ
ことと同じである。 次の CHART に従って、考えてみよう。
2次方程式の解と数々の大小グラフ利用 D, 軸,f(k) に着目!
1
このための条件は、 ①の判別式をDとすると D≧0
D=(-α)²-4・2a=α(a-8) であるから
a(a-8) ≥0
(2
よって
a≦0,8≦a
a
軸x=1/28 について-1<<1から 2<a<2
......
a>.
IKACION
cos0=xとおくと, -1≦x≦1 で, 与式は
f(-1)=1+3a > 0 から
f(1)=1+a>0
から
②~⑤の共通範囲を求めて
<a≦0
① [2] 放物線 y=f(x) が-1<x<1の範囲で,x軸とただ1点
----
で交わり,他の1点は x<-1, 1<xの範囲にある。
このための条件は f(-1)ƒ(1) <0
1
3
a>-1
1
3
a=-
(4)
(5)
ゆえに (3a+1)(a+1)<0よって-1<a<-
a<- 1/13
1
またはa=-1
① [3] 放物線 y=f(x)がx軸と x = -1 または x=1で交わる。
f(-1) = 0 またはf( 1 ) = 0 から
[1], [2], [3] を合わせて -1≤a≤0
[参考] [2] と [3] をまとめて,f(-1)(1)≧0としてもよい。
3
[同志社大]
③3③
練習 0 の方程式 2cos²0+2ksin0+k-5=0を満な
④143 を求め
検討〉
TAHO
x2ax+2a=0 をαについ
て整理すると
x2=a(x-2)
よって, 放物線 y=x2 と 直線
y=a(x-2)の共有点のx座
標が-1≦x≦1の範囲にあ
る条件を考えてもよい。 解
編 p.139 を参照。
[1] \ YA
+
11
D2 (794)
[2]
YA
-1
Do
基本140
-1
YA
-1
1
00
+
X
大量
<D-[0]
X
