練習 2次方程式x2+ (2-α)x+4−2a=0 が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつよ
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うな定数αの値の範囲を求めよ。
[類 自治医大
1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」場合を次のように分けて考えると
よい。
[2] 解の1つがx=-1のとき。
[3] 解の1つがx=1のとき。
[2][3] 以外は -1 <x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ場合であるから,
[1]2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるとき (重解を含む)。
[4]1つの解が-1<x<1. 他の解がx<-1 または 1 <xの範囲にあるとき。
と分ければよい。
f(x)=x2+(2-a)x+4−2aとし, f(x) = 0 の判別式をDとする。
[1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にある (重解を含む)
ための条件は y=f(x) のグラフがx軸の-1<x<1の部分
と, 2点で交わる (接する場合も含む) ことである。
よって,次の (i)(iv) が同時に成り立つ。
(i) D≧0
[1]
[4]
に
1
K
求
|別解
(i) f(-1)>0
I (iii) f(1)>0
(iv)
-1<軸<1
(i) D=(2-α)2-4・1・(4−2a)=α+4a-12
=(a+6)(a-2)
D≧0 から
(a+6)(a-2)≧0
ゆえに
a≤-6, 2≤a
①
(ii) f(-1)=-a+3
f(-1)>0 から
-a+3>0
よって
a <3
②
(iii) f(1)=-3a+7
f (1) > 0 から
-3a+7>0
7
よって
a<
③
3
+
-1
[1] D=0, (ii), (ii), (iv)
が同時に成り立つとき,
1つの解 (重解) が
-1<x<1の範囲にあ
る。
