2を自然数。として,次の各不等式を証明せよ.た\
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6.2 関数の凹凸と不等式
logz を自然対数。
だし,等号成立条件には言及しなくてよい。
~w
x-a
(1) 0<aく6, asz<bのとき, log z2log a+
(logb-loga)
b-a
(2) a1, az>0 とし, p, pe20, pi+pe=1 のとき,
log(piai+ pea:)2 plogai+pelog a2
Dn20, pi+pe+………+
a1, a2, ………, an>0 とし, p, pa,
Da=1
のとき, log こpa2Eploga,
i=1
i=1
aitazt… +am
(4) a1, a2,
an>0 のとき,
n
(滋賀医大)
GuldePostMAP
仮定
log x は自然対数, n は自然数.(ア,
目標
それぞれの条件のもとで(1)~(4)の不等式を証明する。
(1)いろいろな方法が考えられるが,ここでは平均値の定理を利
用してみる。
(2) aSa: と し, a<az のときは(1)の不等式において,
方法
a=a, b=a2 とおく.
(3) 数学的帰納法を利用する。
大
(4)(3)の不等式で pi=p2=………=pn=ー
とおく。
n
【解 答】
x-a
(1) F(x)=logz-{loga+
(logb-loga)
b-a
8 S-n 8
(ェ>0)
とおくと
