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例題 196 平均変化率,微分係数★★★☆
2次関数f(x)=ax2+bx+c について, x=pからx=g(p<g)までの平均変
01:31
化率は
で,x=口における微分係数に等しい。
指針 定義に従って求める。 微分係数 f'(a) の定義は
f(b) -f (a)
b-a
q-p
fl(a)=lim
平均変化率の極限が微分係数であるから, (ア) の結果を (イ) の計算に利用できる。
202
解答 (7) x=pからx=g までの平均変化率は
f(a)-f(p)_(aq²+bq+c)-(ap²+bp+c)_ a(q²-p²)+b(q-p)
0 q-p
76
9-p
(q-p){a(q+p)+b}
6-a
LET PC q-p
q-r
ゆえに,①を利用して
f'(r)=lim
gr
(イ)x=rにおける微分係数 f'(r) は,平均変化率ると、か
DT
2'd
f(g) f(r) ogのときの極限値である。
(f_₁: ƒ(q)-f(r) @+x2-³x
f(x)+x
g-r
+0+0²=(x)0 (mail=(x) rail
f(a+h)-f(a)
-=lim
h→0
h
r=p+q
①, ② が等しくなるための条件は
a(g+p)+b=2ar+b
f(x) は2次関数であるから
よって
20 (6
=lim{a(q+r)+b}=2ar+b....... ②
STE
=a(g+p)+6…… ①
&
a=0
S1+35
a+x2-³x
両辺のbが消える。
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YA
パーズ
P
I
I
op
Ri
A
p+q
y=f(x)/
J
F
S
木 10
