逆関数と積分の等式の証明
重要 例題 222
O
tinde
① f(x)=
のとき. y=f(x) の逆関数y=g(x) を求めよ。
2 (1) f(x), g(x) に対し、次の等式が成り立つことを示せ。
Sof(x)dx+$70g(x)dx=bf(b)-af(a)
解答
指針▷ (1) 関数y=f(x) の逆関数を求めるには,y=f(x) をxについて解き,xとyを交換する。
(p.134 基本例題 81 参照。)
(2) (1) の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)x=g(y)
を利用。 すなわちy=g(x)=x=f(y) に注目して, 置換積分法により 左辺の第2
7
((1)
ex
ex+1
項 Song(x)dx を変形することを考える。
f(a)
ex
ex+1
y=
①から
②から
*****.
p.339 基本事項1. 基本 81
e-∞
ex
lin erão tra l the extl
X-8
①の値域は 0<y<1
ゆえに
よって
(ex+1)y=e*
y
e² = 1 = y
I=
*********
V
(2)
(1-y)ex=y
x=logi-y
求める逆関数は、xとyを入れ替えて g(x)=log 81²x
(2) Sing(x)dx とする。
f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) よりx=f(y)
ゆえに dx=f'(y)dybe 2
また
g(f(a))=a.g(f(b))=b2xf(a)→f(b)
xとyの対応は右のようになる。
よって
店
tree
1=S_yf'(v)dy=[yf(y)]* -S" f(y)dy
=bf(b)-af(a)-f(x) dx
ゆえに Sof(x)dx+g(x)dx=bf (b) -af(a)
a → b
#104 T
STS LORAC
まず、値域を調べておく。
xについて解く。
「両辺の自然対数をとる。
loge*=x
定義域は 0<x<1
f(b)
YA
1
f(a)
T=
0
〔東北大〕
12
a
T
S
x
s=Sof(x)dx.
T-Shing(x)dx
ƒ(a)
(2) の等式の左辺の積分は,
上の図のように表される。
(0<a<bのとき)
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7章
34
定積分の置換積分法・部分積分法
