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基本例題111 最大公約数 最小公倍数と数の決定 (2)
|次の(A), (B), (C)を満たす3つの自然数の組 (a, b, c) をすべて求めよ。ただし,
OOOO0
laくろくcとする。
) a, b, cの最大公約数は6- す
bとcの最大公約数は 24,最小公倍数は 144
Caとbの最小公倍数は 240
(専修大)
p.476 基本事項 3, 基本110
>前ページの基本例題110 と同様に,最大公約数と最小公倍数の性質 を利用する。
2つの自然数 a, bの最大公約数をg, 最小公倍数を1, a=ga', b=gb' とすると
CHA1 a'と6' は互いに素
(A)から, a=6k, b=67, c=6m として扱うのは難しい(k, 1, m が互いに素である, とは
仮定できないため)。(B) から 6, c,次に, (C) から aの値を求め, 最後に (A) を満たすものを
解とした方が進めやすい。
このとき,b=24が, c=24c(b', cは互いに素でがく<c)とおける。
最小公倍数について 246'c'=144
2 1=ga'b'
3 ab=gl
T9AH
これから6, c'を求める。 E
解答
Bの前半の条件から,b=24b', c=24c' と表される。
ただし,6, c' は互いに素な自然数で 6'<c
コBの後半の条件から
これとのを満たすが, c' の組は
の
246'c'=144 すなわち b'c'=6
Agb'c'=l
ゆえに
(6, c)=(24, 144), (48, 72)
べ自料)
6=246', c=24c' J
A)から,aは2と3を素因数にもつ。
また,(C) において
0
240-2-3-5
0(最大公約数は 6=2·3
[1] 6=24(-29.3)のとき, aと 24の最小公倍数が240 であ
a=2*-3-5 2ちが足りない
240=2*.3-5
[1] 6=2°-3
[2] b=2*-3
これからaの因数を考え
0
るようなaは
これは, a<bを満たさない。
[2] 6=48 (=2*·3) のとき, aと 48 の最小公倍数が240 であ
a=2*.3·5
ただし p=1,(2, 3, 4
るようなaは
る。
a<48を満たすのはp=1の場合で,このとき
30, 48, 72 の最大公約数は6で,(A) を満たす。
以上から
a=30
(a, b, c)=(30, 48, 72)
o
