223 関数 f(x) = x-6x2+9x-12-t≦x≦2+t における最大値と最小値を求めよ。 ただし,
t> 0 とする。
f'(x) = 3x-12x+9=3(x-1)(x-3)
f'(x) = 0 とおくと x=1,3
よって, f(x) の増減表は次のようになる。
YA
3
x
1
3
f'(x) + 0
-
0 +
f(x)|7 3
-1|>
0 1
-1
ゆえに, y=f(x) のグラフは右の図。
また f(0) = -1 = f(3), f(1)=3= f(4)
(ア) 0 <t < 1 のとき
3
2+t
13
0 11
3-
2-t
x
YA
2+t
x=2-t のとき 最大値
f(2-t) = (2-t)³ −6(2− t)²+9(2− t) — 1
=-t+3t+1
x=2+t のとき 最小値
f(2+t) = (2+t)-6(2+t) +9(2+t) -1
=t-3t+1
(イ)_1≦t< 2 のとき
x=1のとき 最大値 3
x=3のとき 最小値 -1
(ウ) t≧2 のとき
x = 2+t のとき 最大値
f(2+t) =t-3t+1
x=2-t のとき 最小値
f(2-t) = -t + 3t + 1
a
3
-1
f(1)=13-6.12
+9・1-1=3
f (3) =33-6.32
+9・3-1 =
x-6x2+9x-1=3
を変形すると
(x-1)(x2-5x+4) = 0
(x-1)(x-1)(x-4)=
よって x=1,4
3
01
x
2-t
y
3
2-t
3
4'
x
2+t
