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解答
例題 55 剰余の定理利用による余りの問題 (1)
00000
(1) 多項式 P(x) を x-1で割ると余りは5, x-2で割ると余りは7となる。
のとき,P(x) を x2-3x+2で割った余りを求めよ。 +x=(x)定員【近畿大
(2) 多項式 P(x) を x2-1で割ると4x-3余り, x2-4で割ると3x+5余る。
のとき,P(x) を x2+3x+2で割った余りを求めよ。
[類 慶応大
基本 54 重要 57
指針 P(x) が具体的に与えられていないから、 実際に割り算して余りを求めるわけにはいか
ない。 このような場合, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。
特に,余りRの次数が割る式Bの次数より低いことが重要なポイント!
2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから,R=ax+b とおける。
条件から,このa,bの値を決定したい。それには、割り算の等式 A=BQ+Rで,
B=0 となるxの値(これを●とする)を考えて,P(●)の値を利用する。
基本等式 A=BQ+F
CHART 割り算の問題
1R の次数に注意 [2] B=0 を考える
(1) P(x) を x2-3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったと
きの商をQ(x), 余りを ax+b とすると,次の等式が成り
立つ。
P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b
P(2) =7
2次式で割った余りは、
1次式または定数。
B=(x-1)(x-2)
剰余の定理。 また, グ
の両辺に x=1 を代入
条件から P(1)=5
ゆえに a+6=5
ゆえに 2a+b=7
①,②を連立して解くと
+a=,b=3+
すると P(1)=a+b
ズー
UP
多だで
よって, 求める余りは 2x+3R とすると
1次式または定数。
(2) P(x) を x2+3 + 2 すなわち (x+1)(x+2) で割ったと2次式で割った余りは、
きの商をQ(x), 余りを ax+b とすると,次の等式が成り
立つ。
......
P(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+6(
また,P(x) を x2 -1, x2-4 すなわち (x+1)(x-1),
(x+2)(x-2) で割ったときの商をそれぞれQi(x), Q2(x)
<B=(x+1)(x+2)
a,bの値を決定する
ためには,P(-1),
P(-2) が必要。 そこ
①,②にそれぞれ
x=-1, x=-2を代
入。
とするとP(x)=(x+1)(x-1)Q1(x)+4x-3
P(x)=(x+2)(x-2)Qz(x)+3x+5
......
2
①から
②から
これとイから -a+b=-7
P(-1)=-7
これとイから
求める余りは6x-13
-2a+b=-1
P(-2)=-1
③④を連立して解くと α=-6,b=-13
(1) 多項式 P(x) を x+2で割った余りが3, x-3で割った余りが1のとき
