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第3章
「基
でき
基礎問
効率
47 軌跡(V)\xx/
(1)XXX
mを実数とする.zy 平面上の2直線
■入
mx-y=0.①,
取行実隆
■
について,次の問いに答えよ.
XXX
x+my-2m-2=0
......2
(1) ①,②はm の値にかかわらず,それぞれ定点 A,Bを通る。
A,Bの座標を求めよ.
(2) ①,②は直交することを示せ.
(3) ①,②の交点の軌跡を求めよ.
精講
(1) 「mの値にかかわらず｣ とあるので,「m について整理」!
mについての恒等式と考えます. (37)
(2)② が 「y=」の形にできません. (36)
(3) ①②の交点の座標を求めて, 45 のマネをするとかなり大変です
したがって,(1),(2)を利用することを考えます。このとき
Ⅲを忘れてはいけません .
②my=-x+zmt
ことはないので (注) 点 (0, 2)は含まれない.
よって, 求める軌跡は
円 (x-1)+(y-1)^2=2から,点 (0, 2) を除いたもの.
77
注 一般に,y=mx+n型直線は軸と平行な直線は表せません.
それは,yの頭に文字がないので,m, nにどんな数値を代入しても
が必ず残ってπ=k泥想できないからです。逆に,xの頭には文
字がついているので,m=0 を代入すれば,y=n という形にでき,
軸に平行な直線を表すことができます。
リード曲と手行(y=2)
45 の要領で① ② の交点を求めてみると,
参考
2 (1+m)
2m(1+m)
x=
1+m²,y=
1+m²
となり,まともにmを消去しようとすると容易ではなく, 除外点を見つける
こともタイヘンです. もしも誘導がなければ次のような解答ができます. こ
れが普通の解答です.
YA
②に代入して,x+
x=0 のとき,①よりm=-
y²
y
IC
|xで割りたいの 2
で x=0, x=0
24-2-0
で場合分け
I
I
:.x2+y2-2y-2x=0
.. (x-1)+(y-1)²=2
ABを直径と
解答
0
(1)の値にかかわらず mo=0 が成りたつとき,r=y=0
∴A(0, 0)
< mについて整理
②より (y-2)+(x-2) = 0 だから
∴.B(2,2)
(2) m・1+(-1)m=0 だから,
①,②は直交する.
|36|
(1)(2)より①,②の交点をPとすると ①② y
より,∠APB=90%
よって、円周角と中心角の関係よりPは2点A,
ある円向上
であれば
∠APB=900
2
Bを直径の両端とする円周上にある.この円の中 0
心は ABの中点で (1,1)
A/
次に, x=0 のとき,①より,y=0
これを② に代入すると, m=-1 となり実数が存在するので,
点 (0, 0) は適する.
以上のことより, ①②の交点の軌跡は円 (x-1)+(y-1)²=2から点
(02) を除いたもの.
●ポイント 定点を通る2直線が直交しているとき, その交点は,
ある円周上にある. その際, 除外点に注意する
演習問題 47
よって, (x-1)2+(y-1)^=2
また, AB=2√2 より 半径は2
ここで、のは、軸と一致することはなく、②は直線 y=2と一致する
tを実数とする. ry 平面上の2直線 l : tr-y=t,
m:x+ty=2t+1 について, 次の問いに答えよ.
(1) tの値にかかわらず,l, mはそれぞれ, 定点A, B を通る.
A,Bの座標を求めよ.
(2) l, mの交点Pの軌跡を求めよ.
