158
BGCOLOREX
重要例題 80 最大・最小と実数解条件 (1)
実数x,yがx2+(y-1)2=5を満たすとき, 2x-yの最大値と最小値,およびそ
のときのx,yの値を求めよ。
|指針 条件式の使い方は、文字を減らす方針といっても, x2+(y-1)2=5をxやyについ
て解いていたのでは、複雑な式が出てきてどうにもならない。
そこで見方を変えて, 2x-y=kとおく。
そして,文字を減らす方針で, y を消去すると
x2+(2x-k-1)²=5
x は実数であるから,この2次方程式は実数解をもつ。
解答 2x-y=kとおくと y=2x-k
これを x2+(y-1)²=5に代入すると
x2+ (2x-k-1)=5
→xの2次方程式
EX&TER
したがって, 実数解をもつ ⇔ D≧0 を利用すると,kの値の範囲が求められる。
整理すると
①
5x2-4(k+1)x+k²+2k-4=0
xは実数であるから,2次方程式 ② は実数解をもつ。
ゆえに, 2次方程式②の判別式をDとすると
D≧0
D={-2(k+1)}2-5(k²+2k-4)=-(k²+2k-24)
見方をかえ
yを消去。
PRIRE
1145S
える
