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基礎問
150
82 媒介変数で表された関数のグラフ
第5章 微分法
ay平面上で媒介変数日を用いて
れる曲線C上の点Pにおける接線がx軸の正方向と
(1) Cのグラフをかけ.
(1) 00<2πのとき,
dr
dy
-=1-cos0,
de
do
64で求めたdr
(2) 直線とx軸の正方向とのなす角をaとすると(ただし,
の直線の傾きは tanα で表せます. (数学ⅡI・B58)
lim
0+0 dx
(1) 媒介変数で表された関数の微分については 64 で学びました。
ここでは,それを用いてグラフをかく練習をしましょう。最大の
ヤマは増減表のかき方です。 解答の中では,スペースの関係上、
をそのまま (途中を省略して)使ってあります。
また,
dr
よって, グラフは上に凸.
dy
また,dx
-=0 より
dy=lim
lim
dy
0-2-0 dx
= sino より
1
(1-cos0)²
=lim
解答
1-cos0>0 だから, 増減は右表のよう
になる.また,
0+0 1-cos²0
-<0
sin0(1+cos0 )
x=0-sin0
y=1-cos 0
(2) 点Pの座標を求めよ。
0 1+cost_
0
-=lim
sin(2n+t)
-0 1-cos (27+t)
dy sino
dx
sin0=0 ∴.0=π (0<<2π より )
-= +00
1-cos 0
0
to sino
0-2=t とおくと, 02-0のとき, t→ - 0
IC
(0≤0≤2π) **
昔の角をなすとき、
dy
dx
y
20
0
0
-<-<4) +
2そ
注参照
[64
π
150 (5)
π
+ 0
2
::
... 270
π
6
=lim Sint
dy_ do
dx dx
do
だから (0,0), (2π, 0) において曲線Cは
それぞれ直線 = 0, π=2πに接する。
以上のことより, グラフは右図
90 と2のときをはずして微分しているのは、この2つの
[注]
対して,
dx
-=0 となるからです。
do
dy
<0+
--o-cost
よって,
演習問題 82
t
to sint
=lim
dy
lim
0+0 dx¹
(2)0<6<2πにおいて
ポイント
その影響で, 00 と2のときのグラフの様子がわからないので,
dy
lim
を調べてあるというわけです。
0-2-0 dx
sino
π
= tan 7
1- cos 0
6
√√3 sin 0+cos0=12sin
1+cost
t
dx
は
-≠0 のときに使うことができる式です。
do
π 13л
-<
6
6
P(21
12
3/4
より ot=5
π5
0+
6
√3
3
2' 2
2.
傾きは tan
√3 sin0=1-cos A
2 sin(8+4)=1
ある直線がx軸の正方向とαの角をなすとき
(一匹<a<△)で表せる
151
xy平面上で媒介変数tを用いて,
x=√3-1
y=t³-t
(−1 <t<1) で
表される曲線上の点P(x,y) における接線の傾きが0になるとき,
点Pの座標を求めよ.
第5章
