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基本例題 12 座標を利用した証明 (1) 食
(1) △ABCの重心をGとする。 このとき, 等式
ABCT)ALLED
AB'+BC2 + CA'=3(GA²+GB2 + GC2) が成り立つことを証明せよ。
9 $
(2) △ABCにおいて, 辺BC を 1:2に内分する点をDとする。 このとき, 等式
2AB'+AC2=3AD' +6BD' が成り立つことを証明せよ。
TOLOUR MAT
指針 座標を利用すると, 図形の性質が簡単に証明できる場合がある。 そのとき
0
31
けで
AB
この座標軸をどこにとるか、
与えられた図形を座標を用いてどう表すか
がポイントになる。そこで後の計算がらくになるようにするため,問題の点がなるべく
多く座標軸上にくるように
0が多いようにとる。
(1) は A(3a, 36), B(-c, 0), C(c, 0) とすると, 重心の性質からG(a,b)
(2) l A(a, b), B(-c, 0), C(2c, 0)
CHART 座標の工夫 1 0 を多く ② 対称に点をとる
Let
解答
(1) 直線BC をx軸に, 辺BCの垂直二等分線をy軸にとると,|
線分BCの中点は原点0になる。 A (3a, 36),B(-c, 0),
C(c, 0) とすると, Gは重心であるからG(α, b) と表される。
よって AB2+BC2 + CA 2
(1) +8+--
=(-c-3a)² +962+4c²+(3a-c)2 +962
①
の場=6a²+662+2c2
......
0212 =3(6a²+6b²+2c²)
HOMEB
平行四辺 GA2+ GB2+GC 2
(1=(3a-a)²+(36−b)²+(-c-a)²+b²+(c-a)² + b²
②
① ② から
AB2+BC2+CA²=3(GA+GB2+GC2)
(②2) 直線BCをx軸に点D を通り直線BC に垂直な直線を
y軸にとると,点Dは原点になり, A (a,b), B(-c, 0),(
(20) と表すことができる。
24+ (x + (11) M
よって
2AB'+AC'=2{(-c-a)+(-6)^}+(2c-a)+(-6) 2
=2(c²+2ca+a²+b²)+4c²−4ca+a²+6²
2)2 2007
=3a²+3b²+6c²
3AD²+6BD²=3(a²+b²)+6c²
①②から
基本 71
②
B
(-C,0)
2AB²+AC²=3AD²+6BD² +3,0
0-8
A
基本 85
EA(3a, 36)
0
(G (a,b)
(c, 0) x
y A(a, b) (E)
4
B12-
(-c, 0) OD
a(s)
2−)Ɔ (^_{}ª_{{I_DA Mɛ (1)
3DSMATRROS:8,9%
音の点をPとする。このとき,等式
117
(2c, 0) x
ET
3章
12
直線上の点、平面上の点
