例題 C2.78 いろいろな曲線(2)
3 媒介変数表示 (517)
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x=cos't
tを媒介変数とするとき, 曲線
ly=sin't
の概形をかけ.
[考え方 例題 C2.77 で求めたアステロイドである。
対称性を利用すると、右のようにOSIST の範囲
概形を調べれば、全体をかくことができる.
yy=x/
cost, sint の周期は2mであるから, 0≦t≦2 の範囲で
解答
考える.t=0,0,0, 2-0 に対応する点をそれぞ
P,Q,R, S とし,P(x,y) とすると、sinx, c030
x=cos0y=sin'0
cos(0)=-cos'0=-x, sin (n-0)=sin0=y
したがって,Q(x, y) より,この曲線はy軸に関して対称
cos(n+0)=-cos0=-x, sin(n+0)=-sin'0=-y
したがって,R(-x, -y)より,この曲線は原点に関して対称
cOS (2-0)=cos' Q=x, sin (2-0)=-sin0=-y
したがって, S(x, -y) より,この曲線はx軸に関して対称
4
まず対称性を調べ
P
0
R
さらに,t= .0 に対応する点をP(x, y) とすると,
x 軸対称
*y 軸対称
π
2
=cos (46)=sin {(10)}= sin(+0)
4
4
y=sin (6) =cos
-6)=cos
π
2
(4-0)} =cos (+0)
原点対称
*y=x に関して
称
の4つの対称性が
したがって,t=7 +0 に対応する点TはT(y.x) となる.かる.
すなわち、この曲線は直線 y=x に関して対称である。
T
よって、この曲線の≦ts の範囲の概形を調べる.
y
y=x/
π
π
t0.
6
3√3
v2
81-8
x14
y0 >
したがって、上の表より, 相当する
24点を定めると右のようになる。
よって、Ot2 における曲線の
概形は右の図のようになる.
4
42
12/
TC
4
22
260
√2
2
40
0
44
OPの長さを求め
と次のようになる
t
0
√7
OPの長さ 1
4
1671
練習
[x=sint
の概形をかけ、
•p.C2-170
C2.78]
を媒介変数とするとき、曲線
= sin2t
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