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る。
実戦問題 14 2次不等式が成り立つための条件
f(x) = x + 2kx +3k+4, g(x) = -x+4kx-10 について
(1) 0≦x≦2におけるf(x) の最小値をm とすると
k< アイ のとき
m=ウ k+
I
アイ Sk<オのとき
m= カ 1k²+キ k+ク
k≧オのとき
m= ■ケ |k+ コ
2
であるから, 0≦x≦2を満たすすべての実数xについて, 不等式 f(x) > 0 が成り立つような定数kの値の範囲は
k> サシ である。
(2) すべての実数xについて, 不等式 f(x) > g(x) が成り立つような定数kの値の範囲を求めると
3TR567ad
ス
セソくん< ス +√ セソ である。
次に, すべての実数 X1, X2 について 不等式 f(x1) > g(x2) が成り立つような定数kの値の範囲を求めると,
タチ
<<テである。
■ツ
01 4
(i) k<-2のとき
430
2-k
(1) f(x)=x2+2kx+3k+4= (x+k-k+3k +4
(i) -k > 2 すなわちん <-2のとき m = f(2) = 7k+8
(ii)0<-k≦2 すなわち -2≦k<0のとき Ques
m=f(-k)=-k+3k+4
0
KE
y=f(x),
ps. 0 com
(i) -k ≦ 0 すなわちん ≧0のとき m=f(0)=3k+4
0≦x≦2を満たすすべての実数x について, 不等式 f(x) > 0 が成
り立つための条件は m>0 であるから
NIW
&
e
(ii) -2≦x<0 のとき
8
(i) k<-2のとき m=7k+8>0 より k> -- (0³200+ 0 nix)=0a0+049
7
eb
y=f(x)!
k <-2 であるから 解なし
(ii) -2≦x<0 のとき m = k+3k+4>0 より
-2≦x<0であるから -1くん<00miz
-1 <k < 4
4
O-k 2
(i) k≧0のとき m=3k +4 > 0 より k> -
TLV
3
ん≧0であるから
(2000pied
( ≧0のとき
Bans
k≧0
Av
(i) ~ (i) より 求めるんの値の範囲は
k> -1
(2) h(x)=f(x) - g(x) とおくと ·SastS+
h(x)=(x2+2kx+3k+4)-(-x+4kx-10)
=2x²-2kx+3k+14 = 20
= 2(x - 12 )² - 12/²2
+3k +14
すべての実数xについて不等式 f(x) > g(x) が成り立つとき
h(x) = f(x) = g(x) > 0
k²
・よって,
+3k + 14 > 0 より
k²-6k-28 <0
2
12 na
3-√37<k<3+√37
これを解いて
次に
g(x)=-(x-2k) +4k²-10
すべての実数 x1, x2 について不等式 f(x1) > g(x2) が成り立つとき
(f(x) の最小値)> (g(x) の最大値)
IS nud
よって,
ゆえに
k2+ 3k +4 > 4k² -10 より 5k²-3k-14 < 0
(k-2) (5k+7) <0
7
したがって 求めるんの値の範囲は
<<2
15
攻略のカギ!
Key 1 つねに成り立つ不等式f(x) は, (f(x) の最小値) > p とせよ
(1) すべての実数xについて, 不等式f(x) > g(x)
(2) すべての実数x1, x2 について, 不等式f(x1) > g(x2)
解答
Key 1
Key 1
Key 1
x
iy=f(x)
2
x
2x²-2kx+3k+ 14 = 0.
--の判別式をDとして
D
124
=k-2(3k+14) < 0
からんの値の範囲を求めても
よい｡
y=f(x)
X2
(f(x) g(x) の最小値) > 0
⇒
y=g(x)
(f(x) の最小値)> (g(x)の最大値)
2章
2次関数
35
