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う
10 確率の最大値
赤, 青, 黄3組のカードがある。 各組は10枚ずつで,それぞれ1から10までの番号がひとつず
つ書かれている.この30枚のカードの中からん枚 (4≦k≦10) を取り出すとき, 2枚だけが同じ番
で残りの(k-2) 枚はすべて異なる番号が書かれている確率をp (k) とする.
( 4≦k≦9) を求めよ.
p(k+1)
(1)
p(k)
(2) (k) (4≦k≦10) が最大となるkを求めよ.
(福岡教大/一部省略)
確率の最大値は隣どうしを比較 確率力 (k) の中で最大の値 (または最大値を与える) を求める
問題では,隣どうし [pkpk+1)] を比較して増加する [p(k)≦p(k+1)] ようなんの範囲を求
める. p(k)とp(k+1) の大小を比較すればよいのであるが, p(k) とp(k+1)は似た形をしているの
力(k+1)
で
を計算すると約分されて式が簡単になることが多い.
p (k)
である.
-≧1⇔p (k)≦p (k+1)
解答量
(1) 30枚からk枚 (4≦k≦10) を取り出す取り出し方は 30C通りあり,これ
らは同様に確からしい。このうちで題意を満たすものは、同じ番号の2枚につい
て番号の選び方が10通りで番号を決めると色の選び方が 3 C2 通り, 異なる番号
(-2)枚について番号の選び方が gk-2 通りでそれを1つ決めると色の選び
方が3k-2通りある.
よって, p(k)=
10.3・9Ck-2・3k-2
30 Ck
p(k+1) 9Ck-1.3k-1
p(k)
30!
30 Ck
30Ck+1 9Ck-2.3k-2
(k+1)! (29-k)!
30!
k! (30-k)! (k-1)! (10-k)!
100%
9!
p(k+1)
p (k)
となり, p (k) が最大となるには 6.
18
-≧ 1⇔
SE
p (k+1)
p (k)
(k-2)! (11-k)!
9!
3 (k+1) (11-k) -≧1
(k-1) (30-k)
-3
3(k+1) (11-k)
(-1)(30)
(2) p(k)≦p(k+1) ⇔
⇔3(k+1)(11-k)≧(k-1)(30-k)⇔k (2k+1)≦63.....
5·(2.5+1)<636・ (2・6+1) であるから, ①を満たすんはk=4,5で①の等 kは4~9の整数
号は成立しない . よって
p(4) <p (5) <p(6), p(6) > p (7) > p (8) > p (9) > p (10)
10.3 を約分
YouTube & Fa
1
順に.
1
30Ck+1'
30Ck 9Ck-1.
9Ck-2
最後の3は3-1と3-2 を約分.
p(k)>0, p(k+1) >0
10 演習題 ( 解答はp.50 )
当たりくじ2本を含む5本のくじがある. このくじを1本引いて,当たりかはずれか
を確認したのち,もとに戻す試行をTとする。 試行Tを当たりくじが3回出るまで繰り
返すとき,ちょうど2回目で終わる確率をp (n) とする。
改
(1) 試行Tを5回繰り返したとき,当たりが2回である確率を求めよ.
(2) n≧3として、p(n) を求めよ.
(3) p(n) が最大となるnを求めよ.
( 芝浦工大)
10.11.12
回目が3回目の当たり
なので,それまでに当た
りは2回 (3) は例題と
同じ手法を使う.
43
