基礎問
24 第1章 式と曲線
12 極方程式 (IV)
次の問いに答えよ.
直交座標において,点A(√3,0) 直線l:x= -
3
比が32である点P(x, y) の軌跡を求めよ.
(2) (1)におけるAを極, x軸の正の部分を始線とする極座標を定める.
このとき,Pの軌跡をr=f(0) の形で表せ.
ただし, 0≦0<2π, r>0とする。
(3) Aを通る任意の直線と (1)で求めた曲線との交点を R, Q とするとき,
1
1
+ は一定であることを示せ .
QA RA
精講
4 からの距離の
(2) 極が原点ではないので 「x=rcose, y=rsin0」 とおくことは
できません.そこでベクトル化してOP=OA+AP と考えると,
AP=(rcose, rsine)とおくことができます.(rcose,rsine)
P
r
10
0
A
(3) (2) 極方程式を用意してあり, QA と RA, すなわち,
極からの距離がテーマであることを考えれば, RとQの
極座標ということになりそうですが, ポイントは, R, A,
Qが同一直線上にあるということです. 右図からわか
るように,Q(r1, 6) とおけば, R(12, π+0) と表せます.
ここがポイントになるところです.
(
解答
(1) Pから直線におろした垂線の足をHとする
4
2, PH=|1-√3|
と,
また, PA=√(x-√3)2+y2
PA2 :PH=3:4 だから
3PH²=4PA2
13(2-√3)² = 4((x-√3)² + y²)
2+4y²=4 (だ円) .(*)
O
YA
P
π+0,
72
r1
A
0
X=
KROJEKTA
4
√3
H
IC
IC
81
