332数学 B
練習 2の累乗を分母とする既約分数を,次のように並べた数列
③30
3
1
3
1 1
4 4' 8'
5 7 1 3 5
15 1
8'8'8'16'16'16'
16' 32'
について,第1項から第100項までの和を求めよ。
[類岩手大
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
3
31
4
8 8
3 5
7|1
5
816'16'16'
15 1
"
1632'+税
第k群には 2-1 個の項があるから, 第1群から第n 群までの
項の総数は
(+) (+)
=
1+2+2+･･････ +27-1-
2n-1
2-1
-=2"-1
←初項1,公比 2,項数n
の等比数列の和。
第100項が第n群の項であるとすると
2"-1-1<100≦2"-1.
①
2"-1-1は単調に増加し, 26-1=63, 27-1=127 であるから,
① を満たす自然数nは
n=7
第6群の末項が第63項となるから
100-63=37
したがって 第100項は第7群の第37項である。
ここで,第n群の項の和は
←2°-1=63
2/7(1+3tt(-1))=1/27/1/22"-1{1+ (2"-1)}
←
は第n群の分子の
=2n-2
和で,初項 1,末項 2"-1,
項数 27-1 の等差数列の和。
更に各群の番目の項の分子は2k-1である。
←1+(k-1)・2=2k-1
よって, 求める和は
6
k=1
2k-2+ 12/27 { 1 +3+... + (2・37-1)}
さ
126-1
871-522-2=1½-2-1
k=12
6
=
+
2 2-1 128
= ・63+
2
1369 5401
=
128 128
ee-1-(1)+0
・372
1+3+5+......
+(2n-1)=n²
0000
