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5
0143
[3]
[2]
f(x) = -
ゆえに,y=
x=
r=
S
x=1/3であ
したがって
Ad
である。
√3
2
x=2で最大となり
(-)--(-) + 0
9-
2
2のとき最大
√2 a
??
で最大とな
asino (sus)の最大
¹0+asin0=(1-sin³0)+asino
20+asin0+1
ら
の最大値をaの式で表せ。
y=-x2+ax+1
√3
最大値は
と
s(x) = -(x - 2)²³4 0²
上に凸の放物線で軸は直線
のとき
今のとき
xs.
Fat
12/2+1
+1=-
2
のとき-2a+1.
savのとき
safat/12
√2
2
+1.
a+
10
4miel
のとき
68-0 200
+1
Y800
変数のおき
愛域が変わること
[1]
sin0=x とおくと, -1≦x≦1であり, 方程式は
2(1-x2)+2kx+k-5=0 すなわち 2x²-2kx-k+3=0
この左辺をf(x) とすると、求める条件は、方程式f(x)=0が
1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつことである。
2 (x²-kx).
2(x-112)
ON
[2]
[3] 最大
√3
2
最
a
22
練習
0 の方程式 2cos20+2ksin0+k-5=0 を満たす0があるような定数kの値の範囲を求めよ。
√2 a
22
⑩ 変数のおき換え
変域が変わることに
これは,放物線y=f(x)とx軸の共有点について,次の[1] [11]
たは [2] または [3] が成り立つことと同じである。
[1] 放物線y=f(x) が-1<x<1の範囲で, x軸と異なる2
点で交わる。 または接する。 このための条件は、f(x)=0 の
判別式をDとすると D≧0
ここで
=(-k)²-2(−k+3)=k²+2k−6
k2+2k-6=0 の解は
k=-1±√7
よって D≧0 すなわちk+2k-6≧0の解は
ks-1-√√7 −1+√7 ≤k
=1について-1</1/28 <1
軸x=
すなわち、
f(-1)=k+5>0から
(1) = -3k+5> 0 から
-2<k <2
k>-5
******
******
②
5
−1+√7 ≤k</
2x²
2
a=0
①~④ の共通範囲を求めて
[2] 放物線y=f(x) が-1<x<1の範囲で, x軸とただ1点2
で交わり、他の1点はx<-1, 1<xの範囲にある。
このための条件は
f(-1)ƒ(1) <0
したがって
(k+5)(-3k+5) <0
ゆえに (k+5)(3k-5)>0 よって k<-5,
5
3
ゆえに a=-1
直線が放物線上の点 (0, 0) で接するとき
これらが境目となるから
-1≤a≤0
・<k
5-1-7-2 -1+√752
[3] 放物線y=f(x)がx軸とx=-1 または x=1で交わる
5
3
f(-1)=0 またはf(1) = 0 から k-5 またはk=
求めるkの値の範囲は, [1], [2], [3] を合わせて
k≦-5, -1+√7 ≦k
N
kxk-k+3 10
検討 [本冊 p.224 重要例題 143 の別解]
方程式x2ax+2a=0が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1
つの解をもつための条件は, 図形的に考えると、次のように
して求めることができる。
x2-ax+2a=0 から x2=a(x-2)
求める条件は, 放物線y=x2 と直線
y=a(x-2) の共有点のx座標が
-1≦x≦1の範囲にあることと同じ
である。
直線が放物線上の点 (1, 1) を通る
とき 1=α(1-2)
-10
k
マxlとx=1で
変わる
2
数学Ⅱ 139
y=x2
1 a=-1
a=0
2
12
x
ya
Noo
+
TY=0
y
1
4章
x
[三角関数
-1 loo x
[2]と[3] をまとめて,
(-1)/(1)≧0としても
よい｡
← α について整理。
←直線y=a(x-2) は,
常に点 (20) を通る。
1
