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例題 302
2辺の長さが1cm と 2 cmの長方形のタイルがある。 縦が2cm, 横が
ncmの長方形の場所をこれらのタイルで過不足なく敷きつめるとき, そ
のような置き方の総数を an で表す. ただし, nは正の整数である。
(1) a, azを求めよ.
(3) {an} の一般項 an を求めよ。
隣接3項間の漸化式(3)
第8章
(2) an+2 を an+1, anを用いて表せ、
考え方 タイルの置き方を具体的にイメージしてみる。
||のタイルをA, 口のタイルをBで表すと,
n
n+2までタイルを置いたとき, 一番右端のタイルの置き方は, Aを1枚置くか, Bを2
枚置くかで2通りに分け
られる。これより, n+2
までのタイルの置き方は,
an+2=an+1+an となる。
n+1
n n+2
n+1
n n+2
an+1通り
Aのタイル
an通り Bのタイル2枚
(1) n=1 のとき, タイルの置き方は1通りより, a:=1
n=2 のとき, タイルの置き方は2通りより, az=2
(2) 横が(n+2) cm のとき, タイルの置き方は, 次の2
つに分けられる.
(i) すでに横が(n+1) cm までタイルが置かれてく (n+1) cm まで置いて
いて, 最後に縦に1枚置いて, (n+2) cm とする.いるので, an+i (通り)
(i)すでに横がncmまでタイルが置かれていて, 最く縦に2枚並べる置き方
後に横に2枚置いて, (n+2)cm とする.
よって, (i), (i)より,
(3) 特性方程式 x=x+1, つまり, x-x-1=0 の2つの解を
1+V5
2
解答
日·
または
w>
は(i)に含まれる。
ww
an+2=an+1+an
p.534 参照
1-15
B=
2
とすると, an+2lean+1=B(an+1lean) となる.
α=
数列{an+1- Caan}は初項 a2-aa:=2-α, 公比βの等比数列より,
an+1-aan=(2-α)β"-1
また, α+B=1, B"=B+1 より,
よって,
また, an+2-Ban+1=α(an+1-Ban) となるから, 上と同様に,
an+1- Ban=α"+1円
2-α=B+1=8°
an+1-Qan=B.B"-1=βn+1
2-のより,
1
an=
(a^t1_g*+)
Q-B
1+/5
1-15
B=
より, an=
1+ 5 カ+1
2
練習 段ある階段を1歩で1段または2段上がるとき, 最上段(n段目)への上がり
on0
著し 山(
1の
