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重要 例題 97 関数とその逆関数のグラフの共有点
|f(x)=x2-2x+k (x≧1) の逆関数をf''(x) とする。 y=f(x)のグラフと
基本
y=f(x)のグラフが異なる2点を共有するとき、定数kの値の範囲を求めよ
指針 逆関数 f''(x) を求め, 方程式f(x)=f'(x) が異なる2つの実数解をもつ条件を考えても
よいが、無理式が出てくるので処理が煩雑になる。ここでは、逆関数の性質を利用して
次のように考えてみよう。
共有点を持つと
f(x)かつf(x)
を満たすと述べ
ているだけ
共有点の座標を(x,y) とすると, y=f(x) かつy=f'(x) である。
ここで, 性質 y=f(x)=x=f(y)
x = f(y) が異なる2つの実数解 (の組) をもつ条件を考える。 x,yの範囲にも注意。
******...
解答
共有点の座標を(x,y) とすると
y=f(x) かつy=f''(x)
y=f'(x) よりx=f(y) であるから、次の連立方程式を考える。
y=f(x)y=x²-2x+k (x≧1)
y=f(x)→x-[(y)>x=y²-2y+k(y≥1)✪
(2)
①-② からy-x=(x+y)(x-y)-2(x-y)
したがって (x-y)(x+y-1)=0
x≧1, y≧1であるから x+y-1≧1
ゆえにx=y
よって, 求める条件は, x=x2-2x+kすなわち x2 - 3x+k=0
がx≧1の異なる2つの実数解をもつことである。
g(x)=x2-3x+hとし, g(x)=0の判別式をDとすると
[1] D> 0 から
(-3)²-4.1.k>0-)-(6-f
よって
9-4k>0
に着目し,連立方程式 y=f(x) ,
ゆえにく
9
4
(3)
6000
[2] 放物線 y=g(x) の軸は直線x=2で,
x=12/23 で 14 12/2 である。
[3] g (1) ≧0 から 12-3・1+k≧0 よって ≧2
9
③,④の共通範囲をとって 25k</ 4
......
[参考] y=x2-2x+kとすると
x2-2x+k-y=0
よってx=±√12-(k-y)
x≧1からx=√y-k+1+1
xとyを入れ替えて,逆関数
はf(x)=√x-k+1+1
A 逆関数f'(x) の値域は、
関数 f(x) の定義域と一致す
るから y≧1
B 放物線とx軸がx≧1の
範囲の異なる2点で交わる条
件と同じ。
YA
+
1
3_2
y=g(x)
検討 y=f(x)のグラフと y=f'(x)のグラフの共有点
y=f(x)のグラフとy=f'(x)のグラフは直線y=xに関して対称であるから、両者のグラフ
に共有点があれば,それは直線y=x 上にあることが予想できる。
しかし,直線 y=x 上だけにあるとは限らない。 例えば, p.166 基本例題 95 (2) の結果から、
y=√-2x+4とy=-1/2x+2(x≧0) は互いに逆関数であるが,この2つの関数のグラフの
有点には,直線y=x上の点以外に,点 (2,0), 点 (0, 2) がある。
基本
(1) f(x)
(ア)(g
練習
a>0とし、f(x)=x-2-1(-2)とする関数y=f(x)のグラフとその逆
④97
4
関数y=f'(x) のグラフが異なる2点を共有するとき, α の値の範囲を求めよ。
Cp. 172 EX74
(2) 2つ
域を求
指針 (1)
(2)
解答
(1) (ア) (
(イ) C
まよ
し
(2) (gof
y=(gc
よって
検討
一般に
つま
ho(g-
ま
944
同様
つま
練習
②98
