例
が特別な数列になっていないか考えてみるとよい。
次の数列の一般項 α を求めよ.
XL 1, 7, 17, 31, 49, 71,
X(2) 2, 3, 5, 9, 17,
3390
考え方 等差数列や等比数列でないなど, 与えられた数列の規則がわかりにくいとき,各項の
から
{an} as,
a2,
a3,
aA,
a5,
......, an-1, an,
手順で行う
(芋)
{6} 61, b2, b3, b₁,
数列{bm} を {an} の階差数列という.
2 のとき,
1
n-1
a,=a,+(b,+b2+bs+………+=+20
解答
与えられた数列{a} の階差数列を {bm} とする.
1枚 右にあるカードから1
(1){a}:1, 7, 17, 31, 49,71,=b
{bm} : 6,
10, 14,
18, 22,
=b2
となり,数列{bm} は,初項6,公差4の等差数列になっ
ているから,第ん項 b [k] は, bk=6+(k-1)・4=4k+2
したがって,n≧2 のとき
www
n-1
n-1
(スタート)
an a+b=1+Σ(4k+2)
k=1
k=1
=1+4•—(n−1)·n+2(n−1)=2n²−1
2
この式は,n=1 のとき, a1=2･1°-1=1 となり、
+an-ab
an-a-Σb
より注意!
an=a+b
k=1
n=1のときのチェ
a=1 だから, n=1のときも成り立つクをする。
よって, an=2n²-1 SI
(2){a}:2, 3, 5, 9, 17.
{6}:1.2. 4. 8,
4,8
となり, 数列{6} は, 初項 1. 公比2の等比数列にな
っているから、第ん項bk は,
bk=1.2k-12-1
したがって, n≧2 のとき
www
n-1
12
an=a+bk=2+21=2+
k=1
k=1
2-1
よって、
=2"-'+1
1 この式は, n=1のとき, a=2+1=2 となり,
は、a=2 だから, n=1のときも成り立つあり、結果は
よって, an=2" '+1
Focus
注意!
an=a+Σb
k=1
等比数列の和
n=1のときのチ
をする.
