360 第5草 根
例題164 定積分の最大・最小(1)
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02mとする関数f(x)=ecostdtの最大偵とそのときのえの
値を求めよ.
f'(x), f(x) を求め,
[考え方]
増減表をかく
←
極値と端点での
f(x) の値を調べる
解答 f(x) = ecostdt より、f'(x)=ecosx
兀
3
0≦x≦2m のとき,f'(x) = 0 とすると,x=
*-22"
0≦x≦2 におけるf(x)の増減表は次のようになる.
x
f'(x)
+
0
π
2π
320 32
20
+
(北海道大)
f(x)の最大値・最
小値を求める
2π A
f(x) を求めるには、
分と微分の関係を用いる。
excosx=0, e≠0
kb, cosx=0
したがって、x=
ex>0より,
三匹 3
2'27
COSx の符号がf(x)の
f(x) (0)
(1)(2)(2次)
→
符号になる.
x=2のときである.
つまり,f(x)が最大となるのはx=277 または
7
例題
165
f(a)=S
(1) f(a):
[考え方]
積分
(1)
(2) f
解答
(1){
arcostdt=f(ecostdt=ecost+fe'sintdt
練習
兀 1匹
2
=ecost+e'sint-Şecostdt
部分積分を2回行う.
より
Secostat=12e(cost + sint)+C
12,
Secostdt を左辺に移
m
したがって、f(x)=Secostdt = [1/2e(cost+sint)]
頭する.
Telcosx
je*(cosx+sinx)_1 =1
x=1/2のとき
x=2のとき
(2m)=/12/12=1/2(
-1)
ここで、
あ
e* は単調増加で,
Focu
2n>
π
2
e²лez
(21)=1201-12-12(11)
2.
(1)
より、f(2x)>
よって, 最大値 1/2(2-1)(x2)
|164| (1)関数f(x)=Se(3-t) dt(0≦x≦4) の最大値、最小値を求めよ。
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(2)関数f(x)=(2-t)logtdt (1≦x≦e) の最大値、最小値を求めよ。
eat
p.39126
練習
165
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