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で囲まれ
3
r
t
基本 210
y=ax
+3x\
x
219
219 面積の最大･最小(1)
基本例題
曲線:y=x2 点 (26) を通る傾きがmの直線lについて
(α<B) とおいて, β-α を mを用いて表せ。
(1) l と C が異なる2つの共有点をもつことを示し, 共有点のx座標をα, β
(2) lとCで囲まれた部分の面積の最小値とそのときのmの値を求めよ。
SOLUTION
CHARTO
放物線と面積S(x-a)(x-3)dx=-12(B-α)" を活用
(1) 直線l の方程式は y=m(x-2)+6
x=m(x-2)+6 すなわち x-mx+2(m-3)=0
の判別式をDとすると
面積(mの2次式)123となるから、まず(mの2次式)の最小値を求める。
よって, lとCは異なる2つの共有点をもつ。
α,B(α<B) は、2次方程式 ① の解であるから
B-a=m+√D_m-√D
2
2
(2) ℓとCで囲まれた部分の面積を
Sとすると, 右の図から
s={m(x-2)+6-x2}dx
04
=-f(xーmx+2(m-3)}dx
= f(x-2)(x-B)dx
=-(-1) (8-a)² = (8-α)³²
(1) から
で最小値-
方程式 ① の実数解があ
れば,それはlとCの
D=(-m)²-4・2(m-3)=(m-4)2+8>0bfb-F共有点のx座標となるB-4ac
124
24 het
LB-
S=
8√2
3
√D=√√m²-8m+24
をとる。
6
S
00000
a 0 2β
3
| 基本 210
よって
2
(B-a)²(a+8)²-4aß
=m²-4.2(m-3)
=(√m²-8m+24) ³ = ¹ {(m-4)²+8} ²
=m²-8m+24
(-4)2 +8はm=4 で最小値 8 をとるから, Sは, m=4β-α=√m²-8m+24
β-α>0 であるから
÷12=26
の部分!!
α, β の値は解の公式か
ら求める。 また
D=m²-8m+24
β-αの計算
5 解と係数の関係を用いても
よい。
6
α, βは①の2つの解であ
るから α+β=m,
・8√8
PRACTICE･･･ 219 ③
3
(1) 2つの放物線が異なる2つの共有点をもつための実数 α の条件を求めよ。
2つの放物線y=-2(x-a)2 +3a, y=x2 について
(2) (1) のとき、2つの放物線で囲まれた部分の面積の最大値を求めよ。
327
8√2
3
7章
25
