精講
極値をもつ状態の1例として, 88 を見てください. 増減表の一番
上の欄にxの値が2つでてきています。これが3次関数が極値をも
っている状態です。いいかえると,f'(x)=0 が異なる2つの実数
解をもてばよいということです。
解答
f'(x)=3x2+6(a-1)x+3(a+1)=3{z²+2(a-1)x+(a+1)}
よって, f(x) が極値をもつ条件は、
+2(a-1)x+(a+1)=0 が異なる2つの実数解をもつことである。
判別式をDとすると2=(a-1)-(a+1)= a²−3a=a(a−3)
4
<D>0 が必要十分
であるから a(a-3)>0より
4100
a<0, 3<a
参
考
ポイント
たとえば,a=0 のとき
(f'(x)=0が重解をもつとき)
増減は右表のようになり
極値をもっていません。
だから,極値をもたない条件は、D≦0 です。 大阪
演習問題 91
IC
1
f'(x) + 0
f(x)
3
...
3次関数 y=f(x) が極値をもつ
=f'(x)=0 が異なる2つの実数解をもつ
+
の値と極値を求めよ.
V
3次関数 f(x)=x-3ax2+3x-1 について,次の問いに答えよ
(1) 極値をもつようなαの値の範囲を求めよ.
