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練習
@ 2
(1)
(2)どちら
(ANB)+)
別] 方程式を作る
=n(AUB)-
-169-64-105
図のように、を定めると
048-147
b+c=86
a+b+c+131=300
これらから (1) b=64
(2) a+c=105
・U (300)
A(147)
a
b
C
B (86)
の結果を
←本冊300
照。
B
B
A 64 83
131
A 22 131
計86214
練習 デパートに来た客100人の買い物調査をしたところ, A 商品を買った人は80人, B商品
3
ある。また、両方とも買わなかった人数のとりうる最大値はで,最小値は
人は70人であった。 両方とも買った人数のとりうる最大値はで,最小値はイ
全体の集合を全体集合Uとし, A 商品, B 商品を買った人の
集合をそれぞれA, B とすると, 条件から
n(U)=100,n(A)=80, n(B)=70 (
両方とも買った人数はn (A∩B) で表され, n (A∩B) は,
n(A)>n(B)であるから,ABのとき最大になる。
ゆえに n(A∩B)=n(B)=ア70
また,n (A∩B) は, AUB=Uのとき最小になる。
n(A∩B)=n(AUB)=n(U)-n(AUB)
=n(U)-{n(A)+n(B)-n(A∩B)}
20
123
③4
したがって
50$70
≦n(A∩B)-50≦2
(A∩B) 20
練習ある高校の生徒140人を対象に、国語
ないかを調査した。 その結果, 国語が得
国語と数学がともに得意な人は18人
得意な人は101 人, 数学または英語が
ない人は20人いた。 このとき、3科目
のみ得意な人は人である。
ANBI
生徒全体の集合をひとし、国語、
をそれぞれA, B, Cとすると
n(U)=140, n(A)=86, n
n(A∩B)=18,n(ANC)=
n(BUC)=55,n (AnBr
これから
(AUBUC)=n(U)-r
(C)=n(AUC)-n(A
n(B∩C)=n(B)+n(C
ここでn (AUBUC)=n(A
-n(ANB)-n
であるから、3科目のすべて
n(A∩B)=n (AUB
=120-86
また, 3科目中1科目の
は、右の図の斜線部分で
n(AUBUC)-n(Ar
-n(ANC
=120-18-15-15+
←ADBのとき
AnU(100).
A(80)
B(70)
このとき
n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(AUB)
=n(A)+n(B)−n(U)
20
(70)
=80+70-100=50
次に,両方とも買わなかった人数はn (A∩B) で表され,LAUB=Uのとき
TR-E-001-
・U (100) -
A(80
ANB
練習
=100-80-70+n (A∩B)
(50)
45
=n(A∩B)-50
B(70)
したがって,n (A∩B) が最大, 最小となるのは, それぞれ
n(A∩B) が最大、最小となる場合と一致する。
分母を700,分子を
この集合の要素の
700=22・52・7である
5でも7でも割り切
よって最大値は 70-50=20,入る
1から699 までの整
最小値は 50-50=0
Uの部分集合のう
検討(ウ),(エ) 不等式の性質を用いて解くこともできる。
の集合をB, 7の
←数学Ⅰ 参照。
